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Polynôme degré 5
Bonjour, j'ai un travail de vacances et un polynôme à résoudre mais j'ai quelques difficultés.
L'énoncé est résoudre : x^5-1=0
Or il se voit facilement que la seule solution est 1 mais comment le prouver ?
J'ai factorisé ce polynôme avec la division euclidienne et je trouve que x^5-1= (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1). Or à partir de là pour résoudre (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)= 0 je n'y arryve pas car on voit clairement que la première solution est 1 mais pour le terme de droite je ne peux pas le factoriser et je pense qu'il n'existe aucune solution pour ce terme.
Quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci beaucoup
Ou bien :
Or,
Comme x² est lui même positif, la somme est positive. Elle ne peut s'annuler que si les deux polynômes s'annulent simultanément ce qui n'est pas possible (puisqu'ils n'ont pas les même racines).
Une etude du polynôme ?
Non mais je sais que la réponse est 1 on fait x^5-1=0 donc x^5=1 donc la seule réponse est 1 mais je trouvais ca un peu léger pour mettre sur une copie ? Non ?
La seule solution réelle est 1, mais il faut montrer que c'est bien la seule solution. Pour cela il faut montrer que x^4+x^3+x^2+x+1 ne s'annule pas, ce que j'ai fait, soit par la méthode brutale = étude de fonction, soit par une méthode plus réfléchie (la deuxième).
Merci beaucoup pour ton explication. Je vais faire ce que tu m'as montré pour la factorisation. Je voulais partir dans ce sens mais je ne trouvais pas la factorisation et là tout s'éclaire ^^. Merci beaucoup. Bonne soirée.
MAis une simple étude de la fonction définie par f(x) = x5 - 1 suffit
croissante sur IR de - 
à + ; il n'y a donc qu'une seule valeur 
qui annule cette expression
or f(1) = 0 cqfd
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