Niveau première

polynome quatriéme degrés

Posté par lils (invité) 20-09-06 à 15:46

Bonjour!

Voici le polynome que je dois resoudre dans R mais en utilisant une variable aproprié:

9x^4+12x^3-41x^2-30x-16=0

J'ai essayé de la résoudre en cherchant une racine évidente (ici 2) mais comme on me demande d'utiliser une variable aproprié je n'arrive pas!

merci de votre aide

édit Océane

Posté par re : polynome quatriéme degrés 21-09-06 à 13:36

Bonjour

Sans vraiment trouver quelque chose de pertinent, voici peut-être une méthode :

En faisant le changement de variable, x=X-1/3, on arrive à une équation bicarrée :
9X^4-47X^2-98/9 = 0

qui se décompose en (9X^2-49)(X^2+2/9) n'admettant que les deux seules solutions réelles X = -7/3 et 7/3
il suffit alors de revenir en x : x = -8/3 et 2.

La question qui risque d'être posée par ton professeur est :
Pourquoi avoir fait le changement de variable x=X-1/3 ?

La raison que tu peux donner est que x=-1/3 est axe de symétrie à la fonction initiale f(x) = 9x^4+12x^3-41x^2-30x-16
Pour cela, une étude de la courbe est nécessaire (dérivée...)

N'étant pas certain de cette proposition un peu tirée par les cheveux, peux-tu nous donner la réponse à ton exercice, quand ton professeur te l'aura corrigé ?
.

Posté par re : polynome quatriéme degrés 21-09-06 à 17:46

Autre façon (très hypocrite)

9x^4+12x^3-41x^2-30x-16=0

9x^4+24x³-24x³+12x^3-41x^2-30x-16=0

(9x^4+24x³)-12x³-41x^2-30x-16=0

3x³(3x+8) -12x³-41x^2-30x-16=0

3x³(3x+8) -12x³- 32x² - 9x²-30x-16=0

3x³(3x+8) -4x²(3x+8) - 9x²-30x-16=0

3x³(3x+8) -4x²(3x+8) - (3x+8)(3x+2)=0

(3x+8).(3x³-4x²-3x-2) = 0

(3x+8).(3x³-6x²+2x²-3x-2) = 0

(3x+8).(3x²(x-2)+2x²-3x-2) = 0

(3x+8).(3x(x-2)+2x(x-2) + x-2) = 0

(3x+8).(x-2)(3x²+2x+1) = 0

Le dicriminant de (3x²+2x+1) = 0 est négatif --> (3x²+2x+1) n'est jamais nul dans R.

(3x+8).(x-2) = 0

Les solutions sont: x = -8/3 et x = 2
-----
Ce n'est sans aucun doute pas la manière attendue.

Cela fonctionne parce que on connait par avance les réponses, sinon ...
------------------------------------------------------
Par contre, une méthode qui marche toujours:

Résolution des équations du quatrième degré selon FERRARI.

Soit à trouver les solutions de l'équation:
$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$
On divise par a et on pose $x = X - \frac{b}{4a}$ $\ \ \ (1)$
On est alors ramené à une équation de la forme:
$X^4 + AX^2 + BX + C = 0$ $\ \ \ (2)$
Si on a B = 0, on est en présence du équation bicarrée que l'on résout en posant X² = t.
Si $B\neq 0$ , alors:
On cherche les racines de l'équation:
$u^3 - Au^2 - 4Cu + 4AC - B^2 = 0$    $\ \ \ (3)$
Avec une des valeurs de u trouvée, on calcule: $z = \frac{B}{2(u-A)}$      $\ \ \ (4)$
On résout les équations du second degré:
$X^2 - \sqrt{|u-A|}X + \frac{u}{2} + z.\sqrt{|u-A|}=0$   (5)
et
$X^2 + \sqrt{|u-A|}X + \frac{u}{2} - z.\sqrt{|u-A|}=0$   (6)
Les valeurs réelles trouvées pour X soit  dans (5) soit dans (6) replacées dans (1) donnent des valeurs réelles de x solutions de l'équation de départ.
-----------------------------------------------------

Un exemple:
Soit à trouver les solutions de l'équation:
$x^4 + 5x^3 - 7x^2 - 29x + 30 = 0$ $\ \ \ (1)$
Poser $x = X - \frac{5}{4}$
$x^2 = X^2 - \frac{5}{2}X + \frac{25}{16}$
$x^3 = X^3 - \frac{15}{4}X^2 + \frac{75}{16}X - \frac{125}{64}$
$x^4 = (x^2)^2 = X^4 - 5X^3 + \frac{75}{8}X^2 - \frac{125}{16}X + \frac{625}{256}$
(1) $\to$
Après simplification: $X^4 - \frac{131}{8}X^2 + \frac{33}{8}X + \frac{12285}{256} = 0$    $\ \ \ (2)$
On a $A = -\frac{131}{8}$ , $B = \frac{33}{8}$ et $C = \frac{12285}{256}$
$u^3 + \frac{131}{8}u^2 - \frac{4*12285}{256}u - \frac{131*12285}{2*256}-(\frac{33}{8})^2=0$    $\ \ \ (3)$
Dont les solutions réelles sont u = -16,125 ; u : -14,125 ; u = 13,875.
On prend par exemple u = -16,125.
et on calcule alors: $z = \frac{B}{2(u-A)} = 8,25$      $\ \ \ (4)$
On résout l' équation du second degré:
$X^2 - \sqrt{|u-A|}X + \frac{u}{2} + z.\sqrt{|u-A|}=0$   (5)
$X^2 - 0,5X - 3,9375 = 0$
dont les solutions sont: X = 2,25 et X = -1,75.

On résout l' équation du second degré:
$X^2 + \sqrt{|u-A|}X + \frac{u}{2} - z.\sqrt{|u-A|}=0$   (6)
$X^2 + 0,5X - 12,1875 = 0$
dont les solutions sont: X = -3,75 et X = 3,25.

On a alors:
$X = 2,25 \to x = X - \frac{5}{4} = 1$
$X = -1,75 \to x = X - \frac{5}{4} = -3$
$X = 3,75 \to x = X - \frac{5}{4} = -5$
$X = 3,25 \to x = X - \frac{5}{4} = 2$

Les solutions de l'équation $x^4 + 5x^3 - 7x^2 - 29x + 30 = 0$ sont donc x = -5, x = -3, x = 1 et x = 2.
-------------------------------------------------------
Sauf distraction.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

Fiches de niveau première
115 fiches de mathématiques en première disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

polynome quatriéme degrés

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths