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Position d'une courbe par rapport à une tangente

Posté par
devoir36
22-02-12 à 12:02

Bonjour , voici mon DM

F est la fonction définie sur R par :
      f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 7

et C sa courbe représentative dans un repère du plan . T est la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1 .

1- En utilisant les copies d'écran ci-dessous , conjecturer la position relative de C et T . ( voir photo )

2- On se propose de démontrer ce résultat .

a) Calculer f ' (x) pour tout nombre réel x .

b)En déduire le coefficient directeur de la tangente T .

c) Déterminer une équation de T .

d) Vérifier que , pour tout nombre réel x :
                  f(x) - (3x - 3 ) = (x-1)^2 (x-4)

e) Étudier le signe de ( x-1)^2 ( x-4) .

f) En déduire la position de C par rapport à T .

voici mes réponses :

pour la 1) pour conjecturer j'ai mis que de [ 0 ; 1 ] C > T  et que de
] 1 ; + infini [  T > C   mais je ne suis pas sure

pour les autres je bloque trop

merci à ceux qui passeront du temps à m'aider

Position d'une courbe par rapport à une tangente

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 22-02-12 à 12:16

1) Ta réponse n'est pas bonne. Il est vrai que le graphique de la photo est nettement insuffisant.
Si tu peux réaliser un meilleur graphique, s'étendant plus vers la droite et vers le haut, je te conseille de le faire.

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 22-02-12 à 12:24

merci Priam de m'avoir répondu rapidement

à ] 3 ; + infini [  

T est plus grand que C

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 22-02-12 à 13:46

D'où sort cette réponse ?
As-tu obtenu un bon graphique ?

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 22-02-12 à 13:51

comment peut-on répondre à cette question , on est vraiment obliger de tracer le graphique

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 22-02-12 à 13:57

Au 1. il est indiqué "voir photo". Mais la photo est mauvaise !
Un graphique n'est cependant pas indispensable pour la suite.
2. Qu'as-tu fait ? La dérivée, au moins ?

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 22-02-12 à 14:44

pour la 2) a. comment je peut calculer f'(x) ?

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 22-02-12 à 18:34

f(x) se compose de la somme de puissances de  x .
Je te rappelle que la dérivée de  xn  est  nxn-1 .

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 23-02-12 à 11:18

vous pouvez plus développer car je viens juste de commencer le chapitre des dérivée et je suis complètement perdu

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 23-02-12 à 12:02

x³ correspond à n = 3. La dérivée de x³ est donc 3x².
Pour la fonction de l'énoncé :
f(x) = x³ - 6x² + 12x - 7
f '(x) = 3x² - 6*2x + 12.

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 23-02-12 à 15:24

merci

pour la 2.b) pour le coefficient directeur il faut prendre des points sur la courbe ?

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 23-02-12 à 19:01

Non.
On demande de calculer la dérivée f '(x), puis le coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse 1 , lequel est égal à f '(1).

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 23-02-12 à 21:34

c'est 0 ???

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 23-02-12 à 21:51

Pourquoi 0 ?

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 23-02-12 à 22:25

je suis vraiment nul , je ne comprend rien du tout

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 23-02-12 à 22:44

f '(x) = 3x² - 12x + 12.
Pour calculer f '(1), il suffit de remplacer  x  par  1  dans la première ligne.

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 24-02-12 à 10:35

j'ai remplacé par 1 et j'ai trouvé 3
donc le coefficient directeur c'est 3

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 24-02-12 à 12:32

Oui.

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 24-02-12 à 13:32

pour la 2.c) pour l'équation de T j'ai trouvé :

T: y = f'(1)(x-1) + f(1)

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 24-02-12 à 13:45

Oui, mais il faut remplacer f(1) et f '(1) par leurs valeurs numériques.

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 24-02-12 à 14:40

j'ai remplacé et j'ai trouvé 3x - 3

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 24-02-12 à 16:03

C'est une équation de droite. Il faut écrire   y = 3x - 3.

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 24-02-12 à 21:27

pour la d) vu que c'est une égalité j'ai développer (x-1)^2(x-4)
mais j'ai trouvé -1x^2+1+8x  mais je crois que j'ai fais une erreur

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 24-02-12 à 22:11

Oui, car il doit y avoir un terme en x³.
Développe en commençant par le carré.

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 25-02-12 à 12:12

j'ai commencé par développer le carré et j'ai trouvé x3-6x²+9x-4
ensuite j'ai développer  f(x)-(3x-3) et j'ai trouvé aussi x3-6x²+9x-4

donc ca vérifie que pour tout nombre réel x
  f(x)-(3x-3) = (x-1)^2(x-4)

pour la e) comment fait-on pour étudier le signe ?

Posté par
Cecileee
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 25-02-12 à 15:00

excuse moi je fais des exercices pour m'entraîner, j'ai bientôt un contrôle et je suis tombé sur ton DM, peut tu m'expliquer comment tu as réussi à développer f(x)-3x-3 ? Pour la e) il faut que tu fasses un tableau de signe

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 25-02-12 à 15:13

pour développer voilà ce que j'ai fait :

f(x)-(3x-3)
= x^3-6x^2+12x-7-(3x-3)
= x^3-6x^2+12x-7-3x+3
= x^3-6x^2+9x-4

voilà si tu n'a pas compris quelque chose dit le moi sinon bonne chance pour ton contrôle (et merci pour le tableau de signe )

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 25-02-12 à 17:10

L'expression  (x - 1)²(x - 4) se compose d'un produit de facteurs.
Le premier facteur est un carré. Il est donc toujours positif et n'influe pas sur le signe de l'expression.
Le signe de l'expression est donc celui du deuxième facteur  (x - 4).

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 25-02-12 à 18:19

donc (x-4) est positive

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 25-02-12 à 18:32

Pourquoi ? Si x = 0, x - 4 = - 4 !

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 25-02-12 à 19:49

donc

Signe de (x-4) :

x - 4 = 0 <=> x = 4
x - 4 > 0 <=> x < 4
x - 4 < 0 <=> x < 4

Signe (x-1)² :

(x-1)² =0 <=> (x-1) = 0 <=> x = 1
(x-1)² > 0 <=> x ≠ 1

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 25-02-12 à 19:56

Pourquoi parles-tu du signe de (x - 1)² ? C'est un carré, donc jamais négatif.
Signe de (x - 4) :
x < 4 --> négatif
x = 0 --> nul
x > 4 --> positif.
Voilà.

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 25-02-12 à 20:06

pour la f) au-dessus de 4 T est plus grand que C

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 25-02-12 à 22:56

Il résulte de ce qui précède que l'expression  f(x) - (3x - 3) a le même signe que (x - 4), et qu'elle est donc négative pour  x < 4 , nulle pour  x = 4  et positive pour  x > 4 .
Grafiquement, f(x) est représenté par la courbe C et  (3x - 3) est représenté par la tangente.
On en conclut que pour x < 4, T est au dessus de C et que, pour x > 4 , T est au-dessous de C.
D'accord ?

Posté par
devoir36
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 26-02-12 à 12:28

oui maintenant j'ai compris ça ma permis de m'entraîner pour mon prochain contrôle ( je pense que je vais recommencer quand même ce DM car il y a des points ou j'ai eu des difficulté )

sinon merci beaucoup Priam pour votre aide précieuse et qui, je suis sure m'a apportée beaucoup.

et j'espère à la prochaine fois

a+

Posté par
Priam
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 26-02-12 à 12:38

Posté par
pauldu62
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 09-01-13 à 15:18

Vous pouvez redire toutes les réponses en 1 seul messages svp je comprend pas tout

Posté par
Mar26
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente 09-02-13 à 14:07

Salut à tous !
J'ai le même DM à faire et je l'ai commencé de mon côté avant de tomber sur ce sujet.
J'ai réussi la quasi-totalité des questions mais je bloque à la quest 1 et aux 2-e) e f)
Comment conjecturer une position relative ?
Et je ne vois pas comment réaliser ce tableau de signe..
Merci d'avance et merci à Priam pour ses réponces précédentes qui m'ont permis de vérifier mes propres réponses !

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