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Problème avec démonstration par récurrence

Posté par
heavenly_shadow 11-09-07 à 14:32

Bonjour

Je suis bloqué dans un exercice et j'aurais besoin de votre aide.

Dans la première question, il faut démontrer par récurrence que pr tout n de , (1+x)n1+nx
Jusque là pas de problème.

Ensuite, l'énoncé dit "on considère une suite (Un) définie pour n1 par : Un=n!/nn" (n! = factorielle n)

Voila la question que je narrive pas a résoudre :
"En utilisant la première question, montrer que pour tout n1, on a: Un/Un+1 2."

J'ai essayé un résonnement par récurrence (ce qui me parait logik) mais je n'arrive pas a fer de lien dans ma récurrence donc voila j'espère que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème avec démonstration par récurrence 11-09-07 à 14:39

Bonjour,

\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n!}{n^n}.\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{n+1}{n+1}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=(1+\frac{1}{n})^n\geq 1+n\frac{1}{n}=2

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème avec démonstration par récurrence 11-09-07 à 14:40

Lire \frac{u_n}{u_{n+1}} au début...

Posté par
heavenly_shadowre : Problème avec démonstration par récurrence 11-09-07 à 16:24

Merci je dois avouer que ça m'a bien aider mais... j'ai encore une question par rapport à cet exercice

Donc, une fois que j'ai démontrer l'inégalité, je dis que la suite est décroissante et j'ai la question suivante : "En remarquant que Un=U1(U2/U1)(U3/U2)...(Un/Un-1) , démontrer que Un1/2n-1

Puis ensuite, il faut dire quelle est la limite de (Un) lorsque n tend vers +.

Alors la pareil je pense qu'un raisonnement par récurrence est nécessaire mais je n'arrive pas à voir comment faire pour avoir l'inégalité...
Donc encore une fois si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa.
Merci d'avance!

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème avec démonstration par récurrence 11-09-07 à 17:27

Re,

Je ne pense pas que la récurrence soit indispensable:

u_n=u_1\frac{u_2}{u_1}\frac{u_3}{u_2}\cdots\frac{u_n}{u_{n-1}}

Comme pour tout k\geq 1, on a: \frac{u_k}{u_{k+1}}\geq 2, alors \frac{u_{k+1}}{u_k}\leq \frac{1}{2} et il y a n termes \frac{u{k+1}}{u_k} dans le produit précédent:

et donc u_n\leq u_1\;\frac{1}{2^{n-1}} soit u_n\leq \frac{1}{2^{n-1}}

Du coup comme u_n\geq 0, la limite est nulle.


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