Niveau BTS

problème avec un min-max

Posté par
coast 03-10-09 à 21:50

Bonjour tous

J'ai un petit problème avec l'exercice suivant

montrer que pour une serie de nombre réels $(a_{i,j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq p}$ que
$\max_{1\leq j\leq p} (\min_{1\leq i\leq n} a_{i,j}) \leq \min_{1\leq i\leq n} (\max_{1\leq j\leq p} a_{i,j})$

merci d'avance de vos idées et aide

Posté par re : problème avec un min-max 03-10-09 à 22:26

Bonsoir,

Notons $M=\max_{1\leq j\leq p} (\min_{1\leq i\leq n} a_{i,j})$ et $m=\min_{1\leq i\leq n} (\max_{1\leq j\leq p} a_{i,j})$

Alors $\exists j_0\in\{1,...,p\}$ , tel que $M=min(a_{i,j_0})$ ,pour $i\in\{1,...,n\}$

de même $\exists i_0\in\{1,...,n\}$ , tel que $m=max(a_{i_0,j})$ ,pour $j\in \{1,...,p\}$
alors pour $j=j_0$ , on a $m\ge a_{i_0,j_0}$

De même pour $i=i_0$ , on a $a_{i_0,j_0}\ge M$
D'où l'inégalité choisie