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Problème de mathématiques

Posté par julie59 (invité) 06-08-07 à 16:27

Bonjour tout le monde , me revoilà avec un nouveau problème mais cette fois ci de maths:
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3, B' le milieu de [AC] et D le point défini par:         4AD = AB + 3 BC (ce sont des vecteurs bien sur c'est parce que je ne sais pas faire les flèches)
1) Démontrez que D est barycentre du système {(A,3);(B,-2);(C,3)}
    Déduisez-en que D appartient à la médiatrice du segment [AC]

2) Démontrez que BD= 3/2 BB'   (toujours en vecteur)

3) Calculez DA²

4) Déterminez l'ensemble (E) des points M vérifiant la relation: 3MA²-2MB²+3MC² = 12
    Vérifiez que le centre de gravité G du triangle ABC appartient à (E)

Posté par
Nightmarere : Problème de mathématiques 06-08-07 à 16:32

Bonjour, qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire?

Posté par
spmtbre : Problème de mathématiques 06-08-07 à 16:34

bonjour
4AD = AB + 3 BC
4AD=AD+DB+3BD +3DC

3AD-2BD+3CD = 0
et ça repond a ton barycentre  
tu continues?

Posté par
spmtbre : Problème de mathématiques 06-08-07 à 16:35

bonjour Nightmare

Posté par julie59 (invité)probléme de mathématiques 06-08-07 à 16:36

Voici ma vision des choses:
pour la question 1 : D étant barycentre de (A;a),(B;b),(C;c) (a+b+c0) pour tout point M on a: aMA + bMB + cMC = (a+b+c)MD
On peut appliquer ce résultat à un point particulier.Pour montrer que D est sur la médiatrice, on utilise le fait que dans un triangle équilatéral, médiatrices et médianes sont confondus.

pour la question 4: On remarque que pour MA² = vectMA² et on introduit D (MA = MD + DA)
                      Je pense qu'on doit partir de l'égalité de départ et essayer d'arriver a MD²=?
                      et on fait de même pour MB² et MC²

Posté par julie59 (invité)probléme de mathématiques 06-08-07 à 16:57

En réalité je n'arrive pad à calculer DA²

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème de mathématiques 06-08-07 à 17:00

Bonjour,

Le triangle AB'D est rectangle en B'. Les côtés de l' angle droit sont connus

Posté par julie59 (invité)probléme de mathématiques 07-08-07 à 11:39

je trouve DA²= 99/16
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre la question 4 svp

Posté par julie59 (invité)probléme de mathématiques 07-08-07 à 12:55

svp aidez moi

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème de mathématiques 07-08-07 à 14:48

Bonjour,

On fait intervenir le point 3$D avec Chasles:

3$3MA^2-2MB^2+3MC^2=12 \Longleftrightarrow 3\vec{MA}^2-2\vec{MB}^2+3\vec{MC}^2=12\Longleftrightarrow 3(\vec{MD}+\vec{DA})^2-2(\vec{MD}+\vec{DB})^2+3(\vec{MD}+\vec{DC})^2=12

En développant:

3$3MA^2-2MB^2+3MC^2=12 \Longleftrightarrow 4\vec{MD}^2+2\vec{MD}.(3\vec{DA}-2\vec{DB}+3\vec{DC})+3\vec{DA}^2-2\vec{DB}^2+3\vec{MC}^2=12

Or: 3$3\vec{DA}-2\vec{DB}+3\vec{DC}=\vec{0} (Définition du barycentre).

3$3MA^2-2MB^2+3MC^2=12 \Longleftrightarrow 4DM^2=12-3DA^2+2DB^2-3DC^2

Il reste à calculer 3$DA^2=DC^2 et 3$DB^2

Dans le triangle 3$AB'D rectangle en 3$B':

3$DA^2=AB'^2+DB'^2=AB'^2+\left(\frac{BB'}{2}\right)^2=\frac{9}{4}+\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)^2=\frac{63}{16}

3$DB^2=\left(\frac{3}{2}BB'\right)^2=\frac{243}{16}

Finalement: 3$3MA^2-2MB^2+3MC^2=12 \Longleftrightarrow 4DM^2=12-\frac{189}{8}+\frac{243}{8}=\frac{75}{4}

3$3MA^2-2MB^2+3MC^2=12 \Longleftrightarrow DM=\frac{5\sqrt{3}}{4}

3$(E) est donc le cercle de centre 3$D et de rayon 3$\frac{5\sqrt{3}}{4}

Enfin, on vérifie facilement que:

3$DG=DB-BG=\frac{9\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{4} et 3$G \in (E)

Posté par rébecc (invité)re : Problème de mathématiques 23-08-07 à 16:14

bonjour cailloux !
pour ce que tu as marqué un peu plus haut je ne cmprendpas pourquoi tu fais intervenir le point D ?
merci

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème de mathématiques 23-08-07 à 16:24

Bonjour,

Tu as au départ dans le premier membre la quantité: 3MA^2-2MB^2+3MC^2

Et D est la barycentre du système \{(A,3);(B,-2)(C,3\} (même coefficients).

Avec un peu d' habitude, tu sauras qu' il faut faire intervenir le point D dans ce premier membre, après l' avoir transformé en quantité exprimée avec des vecteurs.

C' est ce qui est fait à la première ligne du post de 14h48.


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