Niveau concours

problème entre application plane et vectorielle

Posté par
deydey54 26-06-08 à 09:14

Bonjour j'ai toujours eu du mal à faire le lien entre f et $\vec{f}$ . Je vais essayer de vous expliquez mes problèmes en prenant la démonstration d'une propriété sur la leçon des rotations. Je m'excuse pas avance si le message n'est pas très clair, je vais faire de mon mieux.
Je souhaite montrer que si f est une isométrie de $P$ ( un plan) dont l'application vectorielle associée est une rotation vectorielle $\vec{f}$ distincte de $Id\vec{P}$ alors f est une rotation distincte de l'identité.
On fixe un point O de P et soit O'=f(O)
quelque soit M appartenant à P , avec M'=f(M), on a
$\vec{OM'}$ = $\vec{OO'}$ + $\vec{O'M'}$ = $\vec{OO'}$ + $\vec{f}(\vec{OM})$
Ensuite on dit que M est un point fixe de f si et seulement si ( $\vec{f}-Id\vec{P})(\vec{OM})$ = $\vec{O'O}$
là je commence déjà à bloquer, un point fixe çà veut bien dire que f(M)=M non?Pouvez vous me dire si ce que je dis après est bon s'il vous plait :
D'après les égalités au dessus on a $\vec{f}(\vec{OM})$ = $\vec{OM'}$ - $\vec{OO'}$ $\vec{f}(\vec{OM})$ = $\vec{O'M'}$ $\vec{f(O)f(M)}$ = $\vec{O'M'}$
donc M est un point fixe de f çà veut dire que $\vec{f(O)f(M)}$ = $\vec{O'M}$ et en remontant les équivalences on obtient que M est un point fixe de f $\vec{f}(\vec{OM})$ = $\vec{OM}$ - $\vec{OO'}$ soit ( $\vec{f}-Id\vec{P})(\vec{OM})$ = $\vec{O'O}$ ?

Ensuite ,on pose M"= $\array{a&-b\\b&a}$ la matrice de $\vec{f}$ dans une base orthonormée de $\vec{P}$
det( $\vec{f}-Id_\vec{P})$ =2-2a ( après calcul)
après on écrit det (M"- $Id_2$ )=0 2-2a=0 a=1 b=0
quelle est la différence entre det( $\vec{f}-Id_\vec{P})$ et det (M"- $Id_2$ )?
on dit ensuite que çà implique que M"= $Id_2$ ce qui est impossible car $\vec{f}$ est différent de Id $\vec{P}$ ; donc en fait le seul moyen que M" soit l'identité c'est que $\vec{f}$ =Id $\vec{P}$ c'est çà?

Donc det (M"- $Id_2$ ) est différent de 0
et on conclut en disant :
Ainsi f est différent de $id_P$ possède un unique point fixe; mais là je ne comprends pas du tout comment on conclue çà. Pourquoi f est différent de l'identité? pourquoi il n'y a qu'un seul point fixe et quel est-il ?

Il est très possible que la majorité de mes questions soit du cours..je m'en excuse si c'est le cas mais je suis vraiment perdue là.
Merci d'avance pour votre aide

Posté par re : problème entre application plane et vectorielle 26-06-08 à 17:55

Bonjour

Alors dans l'ordre :

M point fixe, ça veut bien dire que f(M)=M

le déterminant d'un endomorphisme = le déterminant de sa matrice, et ce dans n'importe quelle base

Dire que la matrice M" est la matrice unité revient à dire que l'endomorphisme associé à M" dans n'importe quelle base est l'identité.

tu as donc établi que si $\vec{f}$ n'est pas l'identité, $dét(\vec{f} - Id)$ est non nul, autrement dit $\vec{f}-Id$ est un isomorphisme, donc une bijection, donc il existe un unique vecteur $\vec{u}$ qui a pour image le vecteur $\vec{O'O}$ donné, et ensuite il existe un unique point M tel que $\vec{u}=\vec{OM}$ . voilà ton point fixe

Posté par re : problème entre application plane et vectorielle 26-06-08 à 19:30

Bonsoir tout d'abord merci pour vos réponses , si vous me le permettez je voudrais vous posez quelques questions.Je me rends compte qu'à force de ne pas poser de questions je suis totalement perdue. Veuillez m'excuser pour la "simplicité" de mes questions.Je n'ai jamais été très forte en algèbre; enfin ce n'est pas une raison! J'aimerai profiter de ces vacances pour y remédier mais je ne sais pas par où ou quoi commencer.

Lorsque l'on parle d'endomorphisme on parle de $f$ ou de $\vec{f}$ ?
Quand vous dites " le déterminant de sa matrice" c'est la matrice de f ou de $\vec{f}$ ?

Pourquoi le fait d'avoir trouvé que det ( $\vec{f}-Id$ ) est non nul montre que $\vec{f}-Id$ est un isomorphisme? car si je ne me trompe pas le déterminant d'un isomorphisme c'est 1 ou -1 et ici on a seulement qu'il est différent de 0.

La suite j'ai compris ce que vous m'avez expliqué , merci.

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par re : problème entre application plane et vectorielle 26-06-08 à 23:14

Quand on parle d'endomorphisme, on est en vectoriel, idem pour la matrice

le déterminant d'un isomorphisme n'est pas nécessairement 1 ou -1. (c'est seulement pour ceux associés aux isométries)

Posté par re : problème entre application plane et vectorielle 27-06-08 à 07:36

Bonjour merci pour votre réponse.
Oui je me suis trompée entre isométrie et isomorphe...
Donc en fait à chaque fois qu'on a det(A) différence de 0 on peut affirmer que A est un isomorphisme?
merci

Posté par re : problème entre application plane et vectorielle 27-06-08 à 13:31

pas A : f associé à A dans une certaine base

Posté par re : problème entre application plane et vectorielle 27-06-08 à 13:34

oui pardon, c'est bête ce que j'ai écrit car A c'est une matrice .
Merci pour vos réponses

Posté par re : problème entre application plane et vectorielle 27-06-08 à 13:36

avec plaisir