Problème intérêt composé & simple : exercice de mathématiques de BTS

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Problème intérêt composé & simple
Posté par 
jrmdlr  16-12-09 à 11:57
Bonjour, 

Voici un énnoncé d'exercice du genre que je risque de rencontrer à mon examen, j'ai essayé un peu tout mais ça n'a rien donné 

Merci d'y jeter un oeil.

Monsieur Bonnepouhare place un capital à intérêt composé pendant 8 ans au taux annuel de 6.5% et la valeur ainsi acquise par ce capital encore pendant 9 mois supplémentaires mais à intérêt simple aux taux annuel de 5.75%.

Pendant combien de temps eût-il fallu placer le capital de départ à intérêt composé au taux trimestriel de 1.75% pour arriver à la même valeur acquise finale obtenue par les 2 placements successifs de Monsieur Bonnepouhare ?

Voici mon raisonnement;

CAPITAL    x    ( 1.065 )^8    x    ( 270/360  x  0.0575 )        =        CAPITAL    x     ( 1  +  i )^n                                [ avec ^ pour exposant ]

Avec quel i travailler ? le taux trimestriel ou annuel équivalent ?

Avec n , 4n ou n/4

La réponse est 7 ans 10 mois 13 jours.

J'ai un peu tout essayé, mais rien à faire je n'arrive pas à la réponse.

Je vous avoue que je suis un peu déboussolé.

Merci d'avance,

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jacqlouisre : Problème intérêt composé & simple  16-12-09 à 13:36
    Bonjour . Je séparerais les deux dépôts.

1)    C*(1+0,065)^8 * (1+0,0575* 3/4)

2)    C*(1+0,0175)^n

n étant le nombre de trimestres .

Je pense que tu as oublié le capital dans le second dépôt de 9 mois ...
 Posté par 
djustere : Problème intérêt composé & simple  16-12-09 à 13:42
Bonjour,

Tu décris ici des suites.

Soit la suite géométrique  de raison  et de premier terme , lequel est la valeur du capital de départ.

Cette suite étant géométrique, alors . De même, . Donc .

Puis le capital en question  est soumis à un taux annuel de 1.0575 pendant 9 mois, donc les  d'une année. Le capital final est, que je symbolise par C :

Maintenant, nous posons une seconde suite géométrique (v_n) de raison . Ici, n exprime des trimestres et non plus des années. L'expression est : 

Le capital de départ  est égal à , puisque c'est le même capital.

Donc l'égalité que tu as formulée est exacte, mais comme tu le dis, l'indice de chaque suite n'est pas le même.

Question : l'énoncé te donne-t-il le capital de départ ?
 Posté par 
djustere : Problème intérêt composé & simple  16-12-09 à 13:53
En outre, tu as une simple résolution d'équation pour déterminer n :

donc 

Un petit logarithme ici, et le tour est joué !
 Posté par 
jrmdlrre : Problème intérêt composé & simple  16-12-09 à 14:17
 On a :   <=> log [  (1.065)^8 x 1.0575 x 0.75  ]   =   n  log (1.0175)

          <=> log 1.312618442 = n log 1.0175

          <=> 0.118138501  /  0.007534417897 = n

 On obtient n = 15.6798445

Seulement je ne vois pas le rapport avec la réponse du livre qui est 7 ans 10 mois et 13 jours
 Posté par 
djustere : Problème intérêt composé & simple  16-12-09 à 15:17
Oui, il y a un soucis quelque part ! Je confirme que ton calcul est bon...

Es-tu sûr de ton énoncé ?
 Posté par 
jrmdlrre : Problème intérêt composé & simple  16-12-09 à 15:24
oui à 100%, je l'ai copié mot pour mot.
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jrmdlrre : Problème intérêt composé & simple  16-12-09 à 15:32
Je pencherai pour utiliser le taux annuel équivalent au taux trimestriel;

Mais dans ce cas que représenterai le N ?

CAPITAL    x    ( 1.065 )^8    x    ( 270/360  x  0.0575 )        =        CAPITAL    x     ( 1  + taux annuel équivalent )^n
  Posté par 
jacqlouisre : Problème intérêt composé & simple  16-12-09 à 15:44
    Pourquoi tout changer ...  Je t'avais fait remarquer que , dans ma formule, n  était le nombre de trimestres !...

Et je pense que cette formule est inexacte :

 <=> log [  (1.065)^8 x 1.0575 x 0.75  ]   =   n  log (1.0175)

    je t'avais dit que l'intérêt de la fin était : 1 + (3/4)*0,0575