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Probleme pour un dm sur les suites !

Posté par
titloloteuh 24-10-07 à 16:06

bonjour,

J'ai un Dm pour demain et il me reste a faire un exercice sur 5 ! Celui ci, je ne comprends pas !

exercice 3 :

soit u(n) la suite définie par : u 0 = 0
un+1 = 2 / un +1 pour n >(ou égal) 0

1. Justifier que pour tout entier naturel n, un>(ou égal) 0
2. Pour tout entier naturel n, on pose vn= un - 1 / un + 2
Etablir une relation de récurrence liant vn+1 et vn

Pouvez vous m'aider ? Merci d'avance !

Posté par
titloloteuhre : Probleme pour un dm sur les suites ! 24-10-07 à 16:30

Y a t-il quelqu'un pour m'aider ?

Posté par
ITMETICre : Probleme pour un dm sur les suites ! 24-10-07 à 17:06

Question 1 pour 0 c'est évident et après on fait par récurrence

si un>0 alors un+1>0 et 2/(un+1)>0

Pour la 2
Exprimer Vn+1 en fonction de un+1, remplacer un+1 en fonction de un, puis faire apparaitre vn

Dans ce genre d'exercice vn est une suite géométrique convergent vers 0, ce qui permet de définir la limite de un

Posté par
cailloux Correcteurre : Probleme pour un dm sur les suites ! 24-10-07 à 17:07

Bonjour,

1) Une petite récurrence immédiate suffit.

2) v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2}=\frac{\frac{2}{u_n+1}-1}{\frac{2}{u_n+1}+2}=\frac{1-u_n}{2u_n+4}=-\frac{1}{2}\,\frac{u_n-1}{u_n+2}=-\frac{1}{2}v_n

Posté par
titloloteuhre : Probleme pour un dm sur les suites ! 24-10-07 à 17:11

merci !

pour la deuxieme question je comprends
mais reprenez moi si j'ai faux  pour la première :

est ce que je peux chercher a chaque fois u1 u2 u3 ...
ex: u1+1 = 2/ 1+1 = 2/2 = 1 ?
et la meme chose pour u2 u3 u4 ...  ??

Posté par
titloloteuhre : Probleme pour un dm sur les suites ! 24-10-07 à 17:18

je n'ai pas encore étudier les suites géométriques !

Posté par
cailloux Correcteurre : Probleme pour un dm sur les suites ! 24-10-07 à 17:32

Re,

Citation :
est ce que je peux chercher a chaque fois u1 u2 u3 ...
ex: u1+1 = 2/ 1+1 = 2/2 = 1 ?
et la meme chose pour u2 u3 u4 ... ??


Tu as:

u_1=\frac{2}{u_0+1}=2

u_2=\frac{2}{u_1+1}=\frac{2}{3}

u_3=\frac{2}{u_2+1}=\frac{6}{5}

u_4=\frac{2}{u_3+1}=\frac{10}{11}

\vdots \vdots

Citation :
je n'ai pas encore étudier les suites géométriques !


Alors là, je pense que tu es coincé pour la suite...

Posté par
titloloteuhre : Probleme pour un dm sur les suites ! 24-10-07 à 17:34

la réponse de ITMETIC n'est pas bonne !!
on arrive pourtant a la bonne réponse !?

Posté par
titloloteuhre : Probleme pour un dm sur les suites ! 24-10-07 à 17:36

euh non, tu as donné la réponse non ? pour la question 2?

Posté par
cailloux Correcteurre : Probleme pour un dm sur les suites ! 24-10-07 à 17:47

Citation :
la réponse de ITMETIC n'est pas bonne !!


Eh si:

(v_n) est une suite géométrique de raison q=-\frac{1}{2} et de premier terme v_0=\frac{u_0-1}{u_0+2}=-\frac{1}{2}.

On a donc v_n=v_0q^n=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}} et \lim_{n\to +\infty}v_n=0

De v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2}, on tire:

u_nv_n+2v_n=u_n-1

u_n(1-v_n)=1+2v_n

soit u_n=\frac{1+2v_n}{1-v_n}=\frac{1+\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}}}{1-\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}}

d' où \lim_{n\to +\infty}u_n=1


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