Bonjour kity.
Merci pour les bons voeux.
Pour t'aider dans ta résolution, fais un dessin le plus fidèle possible.  Pour cela, prend 4cm comme longueur du côté du carré.  Places-y les points tels qu'ils sont donnés.
En géométrie, il faut que tu utilises les astuces que tu as aprises cette année et les année antérieures.  Comme astuce, il y a le milieu d'un segment.  Grâce à cette information, tu peux utiliser plusieurs notions :
M est le milieu de [AI]<=>M est l'isobarycentre de A et de I<=>vect(AM)=vect(MI)<=>vect(HM)=2*(vect(HA)+vect(HI)) quel que soit le point H.
Tu prends la dernière propriété pour le triangle AHI et le triangle AHD.  Tu as :
2vect(HM)=vect(HA)+vect(HI)    2vect(HJ)=vect(HA)+vect(HD).
Alors
2vect(HM)*2vect(HJ)=(vect(HA)+vect(HI))*(vect(HA)+vect(HD))
=vect(HA)²+vect(HA)*vect(HD)+vect(HI)*vect(HA)+vect(HI)*vect(HD).
Or vect(HA) perp vect(HD)  et  vect(HA) perp vect(HI) car H est le projeté orthogonal de A sur ID.  De plus, vect(HI)*vect(HD)=-vect(IH)*vect(HD)=-vect(HA)² (hauteur relative à l'hypoténuse dans le triangle AID rectangle en A).  En remplaçant, il vient 0 dans le produit scalaire de départ : les vecteurs sont donc perp.

Pour la deuxième façon, la plus simple, décompose HJ en HA+AJ et HM en HA+AM.  Tu as :
(HA+AJ)*(HA+AM)=HA²+HA*AM+AJ*HA+AJ*AM
Le dernier vaut 0 car AJ perp AM.
De plus, AJ=1/2 AD et AM=1/2 AI.  Or AD se projette orthogonalement sur AH en AH.  De même, AI sur AH.
Ainsi,
HJ*HM=HA²+1/2(AH*HA)+1/2(AH*HA)=HA²-1/2(HA*HA)-1/2(HA*HA)=0.

Une troisième façon est liée aux angles.
Dans le triangle AHI rectangle en H, puisque M est le milieu de [AI], l'angle AHM vaut 45°.
De même, dans le triangle AHD rectangle en H, puisque J est le milieu de [AD], l'angle JHA vaut 45°.
Ainsi, l'angle JHM étant la somme des deux autres vaut 90° et donc JH perp HM.
Une quatrième façon consiste à utiliser un repère où l'origine des coordonnées serait en A, l'axe x AD, l'axe y AB et l'unité la longueur du carré (mieux encore : la longueur du côté = 4 unités).  Il est alors facile de donner les coordonnées des points A, D, I, J, M.  Pour H, utiliser H(x,y) tel que 2HJ=HA+HD ce qui donne un système de deux équations du premier degré à deux inconnues facile à résoudre.
Faites ensuite le produit scalaire (a,b)*(c,d)=ac+bd.

merci beaucoup pour ton aide ma_cor
est-ce-que tu aurais une idée pour la géométrie euclidienne s'il te plaît parce que je suis un peu pommé ?

merci ma_cor pour ton aide elle m'a été précieuse! quand à ma dernière demande à propos de la géométrie je la retire car je n'en est pas besoin et que j'ai tout fini!
Bonne Année à tous ceux qui liront