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pti exo de suite

Posté par elbarto65 (invité) 31-10-06 à 17:50

alors voila j'ai ce pti exo a faire seulement il y a un endroit ou je bloque si vous voulez bien m'aider
je sais qu'il faut utiliser le raisonnement par réccurence

voici l'exercice:

Montrer que, quel que soit le naturel n :

              \Bigsum_{p=\0}^{n}\frac1{\2~^p}= 2-\frac1{\2~^n}

merci d'avance

Posté par
fusionfroidere : pti exo de suite 31-10-06 à 18:11

Salut

Une récurrence ?

Posté par
zlurgre : pti exo de suite 31-10-06 à 18:11

la récurrence est obligatoire ?

sinon c'est rapide avec la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique ( ici n+1 termes et la raison est 1/2 )

Posté par
littleguyre : pti exo de suite 31-10-06 à 18:13

Bonjour

Pour l'hérédité :

S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}

donc S_{n+1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=S_n+\frac{1}{2^{n+1}}

En utilisant l'hypothèse de récurrence S_n=2-\frac{1}{2^n}, on obtient :

S_{n+1}=2-\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}

autrement dit : S_{n+1}=2-\frac{1}{2^{n+1}

CQFD

Sauf faute de frappe

Posté par
littleguyre : pti exo de suite 31-10-06 à 18:14

Si vraiment la récurrence est obligatoire...

Posté par elbarto65 (invité)re : pti exo de suite 31-10-06 à 18:16

oui apparement c'est avec le raisonnement par récurrence , c'est le titre de la partie lol

merci a tous ceux qui ont participer

Posté par
fusionfroidere : pti exo de suite 31-10-06 à 18:17

de nada


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