Bonsoir.

Soit n l'âge d'André et p l'âge de sa maladie, 1 p n.
On a 1+2+...+n-p = 2000
Or, 1+2+...+n =
On doit donc résoudre : = 2000+p
En développant : n² + n - (2p + 4000) = 0
Equation du second degré en n. = 1 + 4(2p + 4000) = 8p + 1600 + 1.
Comme la solution n doit être un entier, doit être un carré.
Vu la forme : 8p + 16000 + 1 = 2(4p+8000) + 1, ce doit être le carré d'un nombre impair.
8p + 16001 = (2a+1)² = 4a² + 4a + 1 => = 2000 + p.

En tapant au hasard, on obtient deux résultats potentiellement accessibles.
1°) a = 63 => = 2016 => p = 16
2°) a = 64 => = 2080 => p = 80
Avec a = 63 et p = 16, on trouve n = 63 cohérent avec p = 16
et avec a = 64, on trouve n = 64 non cohérent avec p = 80

Conclusion : André a 63 ans et il a été malade pour ses 16 ans.

A plus RR.

merci raymond

ou bien avec le même début :
=16001+8a
16001126.49
le premier carré "parfait" supérieur à 16001 est donc 127²
on cheche si a entier est solution de 127²=16001+8a
on trouve a=16
puis on trouve n=63