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Quelle est cette fonction?

Posté par
alainpaul 09-02-16 à 19:43

Bonsoir,

f est définie pour tous les couples d'entiers naturels et vérifie:

1)f(x,x)=x
2) f(x,y)=f(y,x)
3)(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)

Combien vaut f(14,52)?

Les relations 1,2,3)  définissent-elles une unique fonction,laquelle?

Alain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quelle est cette fonction? 09-02-16 à 22:05

Bonsoir,
Je ne réponds qu'à la première question

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Quelle est cette fonction? 09-02-16 à 22:08

Bonjour,

Je tente pour f(14,52) :

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Nicolas

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quelle est cette fonction? 09-02-16 à 22:12

Je conjecture la seconde :

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Posté par
veledare : Quelle est cette fonction? 10-02-16 à 18:17

bonjour,

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Posté par
alainpaulre : Quelle est cette fonction? 11-02-16 à 08:41

Bonjour,


Je vous remercie pour vos réponses.

UN point m'intéresse toujours:l'unicité de la fonction dans N.


Alain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quelle est cette fonction? 11-02-16 à 08:48

Nous, on te remercie pour cet exercice original
Dès que j'ai un peu de temps, j'essaye de voir pour l'unicité.

Posté par
alainpaulre : Quelle est cette fonction? 11-02-16 à 10:51

Bonjour,

Je suis et reste intéressé  par les problèmes liés aux équations fonctionnelles.

Ce que nous savons ppcm(x,y)   vérifie  1) et 2) et

le ppcm vérifie aussi la relation  3)

y \times ppcm(x,x+y)=\frac{y\times x(x+y)}{pgcd(x,x+y)}=\frac{yx(x+y)}{pgcd(x,y) }=(x+y)ppcm(x,y) \\

Qu'en penses-tu?

Alain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quelle est cette fonction? 12-02-16 à 09:26

Bonjour,
Je patauge...
Ce que j'ai fait pour trouver f(14,52) ressemble à l'algorithme d'Euclide pour obtenir le PGCD ; mais je n'arrive pas à formaliser le cas général
En faisant le produit des égalités écrites par Veleda, on trouve xy = d f(x,y) avec d le PGCD. Ce qui donne bien le PPCM pour f(x,y) .

Un résultat qui se démontre par récurrence : y f(x,y+nx) = (y+nx) f(x,y) .
Cas particulier : f(x,nx) = nx .
C'est tout pour le moment.

Posté par
alainpaulre : Quelle est cette fonction? 12-02-16 à 10:21

Bonjour,


Je continue à chercher,

Alain

Posté par
Imodre : Quelle est cette fonction? 12-02-16 à 11:55

Bonjour à tous

Il y a bien de l'algorithme d'Euclide là dessous

On pose g(x,y)=\frac{f(x,y)}y alors g(y,x)=\frac yxg(x,y) et g(x,y)=1 chaque fois que x et y sont multiples ou diviseurs l'un de l'autre .

Si x<y , la troisième condition appliquée à x et y-x donne : g(x,y)=g(x,y-x)  . On peut bien sûr enlever x autant de fois que possible : g(x,y)=g(x,r_1) , r_1 est le reste de la division euclidienne de y par x .

Mais g(x,r_1)=\frac x{r_1}g(r_1,x) et on recommence avec g(r_1,x)=g(r_1,x-r_1)=\cdots=g(r_1,r_2) . On arrive à g(x,y)=g(x,r_1)=\frac x{r_1}g(r_1,x)=\frac x{r_1}g(r_1,r_2)=\frac x{r_2}g(r_2,r_1)=\cdots=\frac x{r_n}g(r_n,p)=\frac xpg(p,r_n)=\frac xp ou p est le PGCD de x et y .

Et c'est fini

Imod

Posté par
alainpaulre : Quelle est cette fonction? 12-02-16 à 12:02

Bonjour,

Ce qui voudrait dire :le procédé est toujours de longueur finie  et donc que
notre fonction f(x,y); x,y   donnés est définie et unique,


Alain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quelle est cette fonction? 12-02-16 à 14:56

Oui !
Bravo Imod. Je cherchais un "déclic" et tu l'as trouvé :
Détruire la symétrie puisqu'elle n'existe pas dans 3).
Et surtout diviser quelque part, pour que puisse apparaître la division par le PGCD à la fin du processus.

Une petite précision pour " g(x,y) = 1 chaque fois que x et y sont multiples ou diviseurs l'un de l'autre" :
g(x,y) = 1 quand y est multiple de x (et pas l'inverse).

Posté par
alainpaulre : Quelle est cette fonction? 12-02-16 à 15:41

Bon après-midi,

J'ai utilisé aussi le pgcd  pour le point 3)  , mail du 11/2 .


Alain

Posté par
Imodre : Quelle est cette fonction? 12-02-16 à 18:36

@Sylvieg : tu as raison , j'ai perdu beaucoup de temps à rendre lisibles les formules "LaTeX" et j'ai très largement bâclé la rédaction .

Il est toujours agréable d'être lu avec attention

Imod  

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quelle est cette fonction? 12-02-16 à 18:46

Non, la rédaction n'est pas bâclée !
En particulier, la ligne après "On arrive à" est très claire.
L'utilisation de la fonction g rend la démonstration élégante


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