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raissonnement pas recurence
bonjour je vous remerci pour toute l'aide que vous pouvez m'apporter sur ce petit exercice:
voici mon énoncé : démontrer pas récurence que pour tout n e IN non nul ,
1*1!+2*2!+ ... + n*n! = (n+1)-1
j'ai vérifier la propriété pour n=1
mais je n'arrive pasa démontrer pour n+1
somme de k=1 à n+1 des k*k! = (n+2)!-1
merci d'avance pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter
Bonsoir.
Tu supposes la relation vraie au rang n : Sn = 1.1! + 2.2! + ... + n.n! = (n+1)! - 1
Tu passes au rang suivant en cherchant :
Sn+1 = 1.1! + 2.2! + ... + n.n! + (n+1).(n+1)! = Sn + (n+1).(n+1)!
Tu remplaces alors Sn par ce que supposes vrai :
Sn+1 = (n+1)! - 1 + (n+1).(n+1)! = (n+1)![1 + n+1] - 1 = (n+1)!.(n+2) - 1 = (n+2)! - 1
C'est donc bien vrai.
A plus RR.
merci pour ton aide mais peu tu me dire comment tu passe de (n+1)!(n+2) -1 à (n+2)!-1
merci d'avance
Bonne question.
(n+1)! = 1.2.3....(n+1)
(n+1)!.(n+2) = 1.2.3...(n+1)(n+2) = (n+2)!
C'est vrai que l'on oublie souvent ce procédé de simplification.
A plus RR.
Bonsoir
il doit manquer un ! dans ton énoncé
si somme de k=1 à n des k*k! = (n+1)!-1 ( hyp.) alors il faut démontrer que somme de k=1 à n+1 des k*k! = (n+2)!-1 (thèse)
or somme de k=1 à n+1 des k*k! = somme de k=1 à n des k*k! + (n+1)*(n+1)!= (n+1)!-1 + (n+1)*(n+1)! = (1+n+1)*(n+1)! - 1 = (n+2)*(n+1)! - 1 = (n+2)!-1
cqfd
A+
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