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Réciproque du théorème de Thalès
Bonjour,
Dans un manuel scolaire, la réciproque du théorème de Thalès est énoncée comme suit :
Si ABC et AMN sont deux triangles tels que :
M est un point de la demi-droite [AB),
N est un point de la demi-droite [AC),
AM/AB=AN/AC,
Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Ma question : Pourrait-on remplacer AM/AB=AN/AC par AM/AB=MN/BC ?
Autrement dit, si on a proportionnalité avec deux côtés, est-ce suffisant pour que les deux triangles soient semblables ?
Je ne sais pas comment passer de AM/AB=MN/BC à AM/AB=AN/AC pour montrer l'équivalence entre ces deux égalités.
Comment faites-vous cela ? Merci.
salut
il suffit de travailler avec "Thalès vectoriel" (donc les homothéties) ou avec les mesures algébriques et tout vient naturellement avec la relation de Chasles ...
Bonsoir,
@Plot,
Dans la figure ci-dessous, (MN)
(BC) .
Donc AM/AB = MN/BC .
Avec ce que tu proposes, on aurait aussi (MN')
(BC) car
AM/AB = MN'/BC .
Merci Sylvieg pour le contre-exemple.
Si dans les hypothèse on écrit "M est un point du segment [AB],
N est un point du segment [AC]", on évite le cas que tu proposes.
Capediem : Il est facile de montrer que si AB/AM=AC/AN=k alors BC/MN=k en passant aux égalités vectorielles et en utilisant la relation de Chasles.
Par contre, si je pars de AB/AM=BC/MN=k alors je peux écrire que mais je ne peux pas écrire que
puisque je ne sais pas que le droites (BC) et (MN) sont parallèles. Donc je ne peux pas travailler avec des égalités vectorielles.
Si dans les hypothèse on écrit "M est un point du segment [AB],
N est un point du segment [AC]", on évite le cas que tu proposes.
Par contre, si je pars de AB/AM=BC/MN=k alors je peux écrire que
quand je dis "tout vient naturellement" c'est bien sûr "la conclusion que l'on veut" ou au contraire pas la conclusion !!
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