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Récurrance

Posté par
lyon90 13-10-07 à 11:36

Bonjour à toutes et à tous,

je bloque sur un exercice sur la récurrence, voici l'énoncé :

On considère une suite (Vn) définie par Vn = n² +n +1 pour tout N entier privé de 0 et la suite Un dont le terme géneral est la moyenne arithmétique : Un= (1/n)* Vn.

On sait également que Un= (1/3)n² + n+ 5/3 par représentation graphique.

On émet une conjecture comme quoi : Un= (1/3)n² + n + 5/3.

Il faut démontrer cette conjecture par récurrence.

Je bloque sur cette question, car je ne sais pas comment résonner à partir de la somme. J'ai pensé faire V(n+1)-Vn mais je trouve 2n + 3. Je ne sais pas quoi faire.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 11:44

Bonjour

tu as: 3$U_n=\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n}u_k

donc 3$U_{n+1} sera quoi?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 11:45

3$U_n=\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n}V_k

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 12:19

Je pense que ce serait : Un+1= 1/(n+1) * Vk+1 non ?

Mais comment calculer cette somme, car ce n'est pas une suite arithmétique ni géométrique.

Merci encore pour votre aide

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 13:44

Je suis toujours bloqué. Je voudrais savoir quelque chose, doit-on trouver une formule qui calcule la somme de Vn ? Car si c'est le cas j'avoue ne pas trop savoir que faire. Si ce n'est pas le cas c'est qu'il y a une autre façon de traiter le problème, mais j'avoue que je bloque.

Quelqu'un aurait-il une idée pour me mettre sur la voie ?

Merci d'avance

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 13:51

Re...

désolé, ton topic est parti dans les profondeurs et donc je l'ai oublié

en fait tu peux travailler sans récurrence..

1/n \Bigsum_{k=1}^nV_k=1/n k^2+k+1

or tu sais bien que: \Bigsum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} et \Bigsum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2} et \Bigsum_{k=1}^n1=n

sinon si tu préfère la récurrence tu le dis

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 13:52

C'est    1/n%20\Bigsum_{k=1}^nV_k=1/n%20\Bigsum_{k=1}^nk^2+k+1

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 13:53

En faite c'est vraiment axé sur la récurrence, et je suis obliger de le faire avec cette méthode.

Merci en tout cas, pour cette méthode

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 13:58

ok, par récurrence:

t'as une faute d'aboird pour U_{n+1}

3$U_{n+1}=\frac{1}{n+1}\Bigsum_{k=1}^{n+1}V_k=\frac{1}{n+1}\(\Bigsum_{k=1}^{n}V_k+V_{n+1}\)=\frac{1}{n+1}\Bigsum_{k=1}^{n}V_k+\frac{V_{n+1}}{n+1}=\frac{n}{n+1}\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n}V_k+\frac{V_{n+1}}{n+1}

tu utilise l'hypothèse de récurrence et tout ira bien

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 14:05

J'ai bien compris ta démonstration de Un+1 et je t'en remercie.
Mais je ne vois pas trop le rapport avec la conjecture que j'ai à démontrer : Un= 1/3n² + n + 5/3

Comment dois-je procéder pour l'inclure dans ton résonnement ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 14:06

ben il faut continuer pour trouver le terme général de U_n+1

càd: 1/3(n+1)²+n+1+5/3

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 14:16

Le problème que je rencontre c'est que je ne sais pas quoi faire de la somme de Vk. Je ne sais pas comment le développer pour trouver une valeur algébrique.

Merci encore

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 14:18

1/n * somme V_k tu l'as dans l'hypothèse de récurrence c'est: U_n et c'est aussi: (1/3)n²+n+5/3

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 14:22

D'accord donc en gros j'ai :

Un+1 = (n/n+1) * (1/3n² + n + 5/3)+ (n²+3n+3)/(n+1) non ?

En le développant, je doit retomber sur  1/n(n+1)² + n+1 + 5/3 ?

Merci encore

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 14:22

euh pardon la derniere phrase c'est: 1/3(n+1)² +n+1 + 5/3

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 14:24

tout à fait

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 14:31

En développant je trouve : (n4+12^n3+18n²+3)/(3n²+4n+1)

Mais je ne trouve pas 1/3(n+1)²+n+1+5/3

Ai-je fais une erreur de calcul ?

Merci encore

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 14:37

développe 1/3(n+1)²+n+1+5/3

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 14:41

Je trouve (1/3)n² +4 +5n/3

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 14:42

calcule la différence, il faut trouver que c'est nul

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 14:45

Il faut que je fasse la difference entre (n4+12^n3+18n²+3)/(3n²+4n+1) et (1/3)n² +4 +5n/3 ?

Je n'aurais pas pensé qu'une démonstration de ce type soit aussi long !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 14:46

ben la récurrence n'est pas toujours assez courte

sinon il y a l'autre méthode en deux lignes

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 14:50

En faisant la différence je ne trouve pas que cela est égale à 0. J'ai du faire une erreur, mais j'ai deja tout refait et j'ai toujours la même chose. Je suis perdu...

Posté par
lyon90re : Récurrance 13-10-07 à 15:00

Rien ne marche... comment puis-je faire ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Récurrance 13-10-07 à 15:15

onc il y a surement une faut dans tes calculs


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