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récurrence baléze

Posté par
munnin 31-10-06 à 13:28

slt l'ile!
quelqu'un pour m'aider svp?
soit l'équation x2-7y2=1
ou x et y sont les inconnues et appartiennent a N*

soit(a;b) un couple solution

montrer par récurrence sur n apparient a N*, qu'il existe un couple (an;bn) d'entiers naturels non nuls tels que

(8+37)n=an+bn7

pas de pb pour l'initialisation( le premier couple solution est (8;3)
par contre pour l'hérédité, j'ai multiplié des deux cotés par (8+37)[ et apré je ne m'en sors pas
aider moi svp
merci d'avance
a bioentot sur l'ile

Posté par
littleguyre : récurrence baléze 31-10-06 à 14:22

Bonjour

(8+3\sqrt{7})^{n+1}=(8+3\sqrt{7})^n\times (8+3\sqrt{7})

En utilisant l'hypothèse de récurrence :

(8+3\sqrt{7})^{n+1}=(a_n+b_n\sqrt{7})\times (8+3\sqrt{7})

soit encore :

(8+3\sqrt{7})^{n+1}=(8a_n+21b_n)+(3a_n+8b_n)\sqrt{7})

reste à vérifier que

a_{n+1}=8a_n+21b_n et b_n=(3a_n+8b_n)\sqrt{7})
sont solutions de l'équation x²-7y²=1

Quelques calculs et on obtient :

a_{n+1}^2-7b_{n+1}^2=a_n^2-7b_n^2

et l'hypothèse de rcuurence permet de conclure.

Au fautes de frappe près...

Posté par
munninre : récurrence baléze 31-10-06 à 18:34

en fait on remplace an+1 et  bn+1 dans l'équation et si on trouve 1 c'set bon c'est ca?repond moi stp

Posté par
munninre : récurrence baléze 01-11-06 à 11:48

comment montrer que an+1=8an+21bn
                   bn+1=7(3an+8bn)

aide moi stp

Posté par
littleguyre : récurrence baléze 01-11-06 à 12:11

On a trouvé :

(8+3\sqrt{7})^{n+1}=(8a_n+21b_n)+(3a_n+8b_n)\sqrt{7}

en posant a_{n+1}=8a_n+21b_n et b_{n+1}=3a_n+8b_n

(dans mon premier message j'ai malencontreusement rajouté un "racine de 7" à bn+1)

on a (8+3\sqrt{7})^{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}\times \sqrt{7}

et il suffit de vérifier que an+1 et bn+1 vérifient x²-7y²=1 pour que l'hérédité soit démontrée (et ça marche très bien, ce n'est que du calcul et l'utilisation de l'hypothèse de récurrence).

Posté par
munninre : récurrence baléze 01-11-06 à 22:07

j'ai essayé an+12-7bn+12 et je trouve que ce n'est pas égal a 1! y'a pas un probleme par hasard?

Posté par
littleguyre : récurrence baléze 01-11-06 à 22:16

\tex a_{n+1} ^2 = 64a_n ^2+336a_nb_n+441b_n ^2

\tex b_{n+1} ^2 = 9a_n ^2+48a_nb_n+64b_n ^2

donc \tex a_{n+1} ^2-7b_{n+1} ^2 = a_n ^2-7b_n ^2

et en utilisant l'hypothèse de récurrence ça donne 1.

Posté par
munninre : récurrence baléze 01-11-06 à 22:32

oui désolé j'viens de le refaire ! tu as raison!et donc on peut remplacer an par an+1 et bn par bn+1
fin de la récurrence

cet comme on a an+1 et bn+1 en fonction de an et bn, comment on pourrait en déduire les valeurs de an et bn en fonction de n?

Posté par
munninre : récurrence baléze 01-11-06 à 22:46

comment exprimer an et bn en fonction de n grace a la récurrence qu'on a  trouvé?

Posté par
munninre : récurrence baléze 02-11-06 à 11:52

littleguy tu as une idée stp?ou quelqu'un d'autre!svp


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