Niveau première

Réduction de triangle (SUITE)

Posté par
Groy 12-05-07 à 10:42

Salut a tous, j'aimerai avoir votre aide pour un exercice.
Je vais faire en 2 partie, 1ère l'énoncé et 2ième ce que j'ai fait.

Les deux droites issues de 0 font des angles $\frac{\pi}{3}$ et la mesure de 0A₀ est 4.
Quel est la limite de la suite (u_n) définie par :
u_n = A₀A₁ + A₁A₂ + A₂A₃ + ... + A_n-1A_n ?

Réduction de triangle (SUITE)

Posté par re : Réduction de triangle (SUITE) 12-05-07 à 10:43

Mon but est de le plus petit résultat (la limite) que la suite (u_n) peut avoir.

$\widehat{0} = \frac{\pi}{3} ; cos(\widehat{0}) = \frac{1}{2} ; sin(\widehat{0}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin(\widehat{0}) = \frac{A_0A_1}{0A_0} \\ A_0A_1 = sin(\widehat{0}) \times 0A_0 \\ A_0A_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \\ A_0A_1 = 2\sqrt{3}$

$cos(\widehat{0}) = \frac{0A_1}{0A_0} \\ 0A_1 = cos(\widehat{0}) \times 0A_0 \\ 0A_1 = \frac{1}{2} \times 4 \\ 0A_1 = 2$

$sin(\widehat{0}) = \frac{A_1A_2}{0A_1} \\ A_1A_2 = sin(\widehat{0}) \times 0A_1 \\ A_1A_2 = sin(\widehat{0}) \times cos(\widehat{0}) \times 0A_0 \\ A_1A_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} \times 4 \\ A_1A_2 = \sqrt{3}$

$cos(\widehat{0}) = \frac{0A_2}{0A_1} \\ 0A_2 = cos(\widehat{0}) \times 0A_1 \\ 0A_2 = cos(\widehat{0}) \times cos(\widehat{0}) \times 0A_0 \\ 0A_2 = cos^2(\widehat{0}) \times 0A_0 \\ 0A_2 = \frac{1}{4} \times 4 \\ 0A_2 = 1$

$sin(\widehat{0}) = \frac{A_2A_3}{0A_2} \\ A_2A_3 = sin(\widehat{0}) \times 0A_2 \\ A_2A_3 = sin(\widehat{0}) \times cos^2(\widehat{0}) \times 0A_0 \\ A_2A_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{4} \times 4 \\ A_2A_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(\widehat{0}) = \frac{0A_3}{0A_2} \\ 0A_3 = cos(\widehat{0}) \times 0A_2 \\ 0A_3 = cos(\widehat{0}) \times cos^2(\widehat{0}) 0A_0 \\ 0A_3 = cos^3(\widehat{0}) \times 0A_0 \\ 0A_3 = \frac{1}{8} \times 4 \\ 0A_3 = 1/2$

$sin(\widehat{0}) = \frac{A_3A_4}{0A_3} \\ A_3A_4 = sin(\widehat{0}) \times 0A_3 \\ A_3A_4 = sin(\widehat{0}) \times cos^3(\widehat{0}) \times 0A_0 \\ A_3A_4 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{8} \times 4 \\ A_3A_4 = \frac{\sqrt{3}}{4}$

u_n = A₀A₁ + A₁A₂ + A₂A₃ + ... + A_n-1A_n

$u_n = sin(\widehat{0}) \times 0A_0 + sin(\widehat{0}) \times cos(\widehat{0}) \times 0A_0 + cos(\widehat{0}) \times cos^2(\widehat{0}) 0A_0 + sin(\widehat{0}) \times cos^3(\widehat{0}) \times 0A_0 + ... + sin(\widehat{0}) \times cos^n(\widehat{0}) \times 0A_{n-1} \\ u_n = sin(\widehat{0}) [ 0A_0 + cos(\widehat{0}) \times 0A_0 + cos^2(\widehat{0}) 0A_0 + cos^3(\widehat{0}) \times 0A_0 + ... + cos^n(\widehat{0}) \times 0A_{n-1}]$

Je suis bloquer ici, je crois que je peux pas simplifier et j'aimerai savoir aussi si ce que j'ai fait depuis le début est correct.

Merci encore ^^

Posté par re : Réduction de triangle (SUITE) 12-05-07 à 10:57

Bonjour,

c'est très beau tout ce que tu as écris, mais tu aimes te compliquer la vie pour rien.

Pourquoi "traines-tu" des cos(O) et sin(O) jusqu'à la fin alors que tu connais leurs valeurs exactes ?

De même, tu connais OA₀, alors remplace le par sa valeur.

Tu y verras déjà 1000 fois plus clair.

Ta méthode m'a l'air bonne, je ne l'ai pas lu en détail, c'est beaucoup trop lourd.

Posté par re : Réduction de triangle (SUITE) 12-05-07 à 11:04

bonjour Groy,

plus simplement :

A0A1 = 4 cos(pi/6)
A1A2 = A0A1 tg(pi/6) cos(pi/6) = A0A1 sin(pi/6)

desquels on déduit que :

U₀ = 4 cos(pi/6)
U_n+1 = U_n sin(pi/6)

Suite géométrique ? dont on cherche la somme des n premiers termes ?

...

Posté par re : Réduction de triangle (SUITE) 12-05-07 à 11:39

Merci pour votre aide.

J'ai essayer de détailler ce que j'ai fait, de plus j'ai trouver qu'a chaque fois 0A₀ est retrouver soit par cos(O) ou par sin(O).

Ici la raison q = sin(pi/6)

Mais pour calculer la somme des termes de la suite, il faudrait savoir la limite de la suite et donc savoir qu'elle est le dernier terme, non ?

Posté par re : Réduction de triangle (SUITE) 12-05-07 à 11:48

Citation :
Mais pour calculer la somme des termes de la suite, il faudrait savoir la limite de la suite et donc savoir qu'elle est le dernier terme, non ?

Non, c'est le contraire.

Poru calculer la limite, il faut tout d'abord que tu exprimes la somme des termes de la suite en fonction de n.

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