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Repère orthonormal de l'espace, plan et droites

Posté par
athrun
01-06-09 à 10:47

Bonjour, je suis coincé à la dernière question de cet exercice :

Enoncé :

Citation :

Soit un repère orthonormal 3$(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k}) de l'espace et les points :

3$A(1;2;3)
 \\ B(-1;3;3)
 \\ C(-2;1;4).

1°) Soit 3$M(3;\beta;\gamma), trouver 3$\beta et 3$\gamma pour que 3$M appartienne à la droite 3$(AB).

2°) Soit 3$M'(\alpha';5;\gamma'), trouver 3$\alpha' et 3$\gamma' pour que 3$M' appartienne à la droite 3$(AB).

3°) Montrer que les points 3$A, 3$B et 3$C déterminent un plan 3$P puis donner les coordonnées de deux points de ce plan.

4°) Déterminer 3$\gamma'' tel que le point 3$M''(0;1;\gamma'') appartienne à 3$P.

Mes réponses :

1°) Si 3$M appartient à la droite 3$(AB), alors 3$\vec{AM} et 3$\vec{AB} sont colinéaires :
3$\vec{AM}=k\vec{AB}.

3$\vec{AB}(-2;1;0); 3$\vec{AM}(2;\beta-2;\gamma-3)


3$\left\{
 \\ \begin{array}{ll}
 \\ 2=-2k \\
 \\ \beta-2=k \\
 \\ \gamma-3=0
 \\ \end{array}
 \\ \right.

3$\left\{
 \\ \begin{array}{ll}
 \\ k=-1 \\
 \\ \beta=1 \\
 \\ \gamma=3
 \\ \end{array}
 \\ \right.

Le point 3$M(3;1;3)\in(AB).



2°) Même méthode qu'à la question 1°) :
3$\alpha'=-5
 \\ 3$\gamma'=3
Le point 3$M'(-5;5;3)\in(AB).



3°) 3$A, 3$B et 3$C sont distincts, de plus, 3$\vec{AB} et 3$\vec{AC} ne sont pas colinéaires; les points 3$A, 3$B et 3$C définissent donc un plan 3$P.

Les points 3$M(3;1;3) et 3$M'(-5;5;3) appartiennent à la droite 3$(AB), et donc au plan 3$P.



4°) Je suis bloqué ici, j'ai déjà répondu à cette question et trouvé une valeur pour 3$\gamma'', j'ai utilisé :

Règle des vecteurs coplanaires (avec 3$k_1 et 3$k_2 deux réels) :
3$\vec{AM''}=k_1\vec{AB}+k_2\vec{AC}

Est-cela qu'il faut utiliser ?



Merci

Posté par
sarriette Correcteur
re : Repère orthonormal de l'espace, plan et droites 01-06-09 à 10:57

bonjour,

très joliment présenté ! bravo!

Oui tu peux faire ainsi pour cette question.
Tu auras un système de trois equations en k1 k2 et gamma' et tu détermineras ton point.

Posté par
athrun
re : Repère orthonormal de l'espace, plan et droites 01-06-09 à 14:55

Merci sarriette !

alors j'ai fais comme cela, et je n'ai besoin que de k_1 pour trouver \gamma'' c'est pas grave j'espère (ce que je veux dire par là c'est que je trouve \gamma'' sans avoir besoin de trouver la valeur de k_2).


En tout cas merci beaucoup

Posté par
sarriette Correcteur
re : Repère orthonormal de l'espace, plan et droites 01-06-09 à 15:52

non ce n'est pas grave, mais un peu étrange.. moi je n'utilise que k2 puisque j'ai le système:
\{-1=k_1(-2)+k_2(-3)\\-1=k_1(1)+k_2(-1)\\\gamma''-3=k_1(0)+k_2(1)

et dans la dernière équation, gamma ne dépend que de k2...

Posté par
athrun
re : Repère orthonormal de l'espace, plan et droites 01-06-09 à 16:19

Ah oui en effet désolé je voulais dire k_2

Posté par
sarriette Correcteur
re : Repère orthonormal de l'espace, plan et droites 01-06-09 à 16:30

ah mais c'est pas grave lol !



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