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révision sur dérivées et fonctions composées

Posté par
mamouille
31-05-09 à 17:45

Bonsoir, pour chacunes des fonctions suivantes
a) déterminer son ensemble de définition
b) préciser les intervalles où la fonction est dérivable et calculer sa dérivée
c) étudier le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction
(pour g, on ne l'étudira que sur l'intervalle [0,2]

g(x)= (2sin x)/(2-sin x)
h(x)=3x(2x-5)^4

Je n'ai pas trouvé l'ensemble de définition pour g, sa dérivée, je trouve :g'(x)=(2cosx*2sinx)-(2sinx*(-cosx))/(2-sin x)^2, je n'arrive pas à symplifier et je ne suis pas sure déjà de ma dérivée. Je n'ai pas réussi à trouver le signe et les variations.

Pour h, D=, je n'arrive pas à simplifier la dérivée h'(x)= 4*(2x-5)^5+3x*(10(2x-5)^4) et à étudier son signe et ses variations. Pouvez-vous m'aider, merci.

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 17:55

bonsoir,

g est definie sur tout R car il y a peu de chance que sinx = 2...

pour la derivee tu as oublié un - qui change tout:

g'(x)=(2cosx*(2-sinx)-(2sinx*(-cosx))/(2-sin x)^2
= 4cos x / (2-sinx)²

ce qui simplifie l'etude du signe

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 17:58

pour h je trouve:

h'(x) = 6(2x-5)³(2x-1)

avec la formule : (uv)' = u'v + uv'

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 18:16

Pouvez-vous développer ce que vous avez fait pour la dérivée de h svp?

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 18:18

Et pour g aussi, je ne vois pas très bien la simplification

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 18:19

oui , bien sûr!

h'(x) = 3x * 4*2(2x-5)³ + (2x-5)4*3
= 3(2x-5)³(8x + 2x-5)
= 3(2x-5)³(10x-5)
= 6(2x-5)³(2x-1)

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 18:22

pour g:

g'(x) = 3$\fr{(2-sinx)*2cosx - 2sinx(-cosx)}{(2-sinx)^2}


3$= \fr{4cosx-2sinx*cosx+2sinxcosx}{(2-sinx)^2}


3$= \fr{4cosx}{(2-sinx)^2}

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 18:30

Pour l'étude de signe de la fonction g, les solutions de 4cosx sont x=pi/2 ou x=-pi/2 mais pour (2-sin x)^2, quelles sont les solutions, je ne vois pas, merci

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 18:35

euh... les solutions de quoi? lol manque un mot là!

les solutions de l'équation 4cosx = 0 sont ... ( et le reste est juste)

pour l'équation (2-sinx)^2 = 0 ben on sait deja qu'il n'y a pas de solution, et ce terme est toujours positif car c'est un carré

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 18:39

Ah oui c'est vrai, par contre, je n'ai pas compris le développement pour la dérivé de g, comment le 2cosx*-2sinx devient 4cos x-2sin x*cos x, avez-vous utilisez une formule?

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 18:46

euh non c'est pas ça...


il y a le terme 2cosx qui est en facteur devant la difference ( 2 - sinx)

donc je distribue:

2cosx (2 - sinx) = 4cosx - 2cosx.sinx non?

( encore une fois, il y a un signe - entre le 2 et le sinus....c'est (2-sinx) et non pas (-2sinx)

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 18:57

Comment trouves t'on le signe de 4cos x sur [0;2pi], on place le pi/2, mais quel signe entre chaque?

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 19:00

sur [0;2pi] le cos x est positif pour x sur [0;pi/2] et sur [3pi/2 ; 2pi]
il est négatif sur [pi/2 ; 3pi/2]

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 19:39

Pk 3pi/2, et non pas -pi/2? Et comment fait-on pour deviner le signe?

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 19:43

je prends 3pi/2 parce qu'on me demande de travailler à l'étage [0;2pi] du cercle trigo
et dans ton tableau de variation tu seras aussi sur [0; 2pi] tu n'auras donc pas accès à la valeur -pi/2.

je trouve le signe en dessinant un cercle trigo, en regardant où sont les x qui ont un cos positif
ils sont "du cote droit" si tu vois ce que je veux dire ...

mais je n'ai pas le droit de dire que c'est [-pi/2;+pi/2] car ce n'est pas le bon intervalle .
on aurait repondu ça si on travaillais dans [-pi;pi]


tu suis?

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 19:44

si on travaillait ( avec un t )

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 19:50

Oui d'accord, j'ai compris, comment trouver la valeur de g(3pi/2)?, j'ai trouvé les autres valeurs mais pas celle la, merci.

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 19:53

g(3pi/2) = \fr{2*sin(3pi/2)}{2-sin(3pi/2)}

 = \fr{2*(-1)}{2-(-1)}

= \fr{-2}{3}

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 19:58

Merci beaucoup, j'ai compris, et par contre j'ai également du mal avec les variations de h, pouvez-vous m'aider?

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 20:05

Comment trouver le signe de (2x-5)^3, faut-il développer?

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 20:15

Je ne vois pas comment trouver son signe

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 20:16

oh non surtout pas!!!


(2x-5)³ = (2x-5)² (2x-5)

le carré sera toujours positif, le signe de (2x-5)³ est donc le même que celui de 2x-5
ce qui simplifie bien les choses...

( je dois quitter l'ile maintenant, un autre correcteur viendra prendre la suite )

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 20:21

Je vous remercie pour votre aide, au revoir

Posté par
mamouille
re 31-05-09 à 20:29

Que doit-on trouver comme variations, je trouve croissante, décroissante et croissante, est-ce exact?

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 22:23

si tu parles de h , oui c'est correct.

tu peux vérifier d'ailleurs en traçant sa courbe avec une logiciel ou ta calculatrice:

révision sur dérivées et fonctions composées

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 31-05-09 à 22:23

(un logiciel pas une ... )

Posté par
mamouille
re 01-06-09 à 09:35

Merci beaucoup!

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 01-06-09 à 09:49

de rien !

Posté par
Yuko-san
re 01-06-09 à 10:56

Bonjour,

Citation :
pour l'équation (2-sinx)^2 = 0 ben on sait deja qu'il n'y a pas de solution, et ce terme est toujours positif car c'est un carré


Je ne comprend pas comment vous pouvez savoir qu'il n'y a aucune solution... Voici ce que je trouve ;

(2-sin x)^2 = 0
On pose X = sin x et on obtient (2-X)^2 = 0
Ce qui nous donne en developpant X^2 - 4X + 4 = 0
son discriminant est égal à 0. Nous avons donc une solution X = -b/2a = 1/2.

J'ai recommencé plusieurs fois mon calcul mais je n'ai jamais trouvé mon erreur. Pouvez vous me dire ou elle est ?

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 01-06-09 à 11:03

bonjour,

oui bien sur

plusieurs remarques:

- quand tu poses X = sinx tu dois ajouter : -1X1 car un sinus est toujours compris entre -1 et 1

- l'équation (2-X)² = 0 étant déjà factorisée elle se résout sans passer par un discriminant.
elle a pour solution X = 2 .
or on sait que X doit être entre -1 et 1 , cette solution est donc rejetée.

- si tu fais quand même le discriminant tu trouves X = \fr{-b}{2a}= \red \fr{4}{2\times 1} = 2 et on revient à la situation précédente.

Posté par
Yuko-san
re 01-06-09 à 11:20

Ah d'accord, merci beaucoup. Et comment fait on pour préciser les intervalles ou la fonction h est dérivable ?

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 01-06-09 à 11:24

h est dérivable sur |R , ou ]-inf ; +inf[ si tu préfères.
Pourquoi veux tu la couper sur des intervalles?

Posté par
Yuko-san
re 01-06-09 à 11:30

C'est ainsi qu'était écrite la question de mon énoncé ^^

Et ensuite pour mon tableau de variations je ne trouve qu'une seule solution : 5/2
et ça me donne pour les variations de h : décroissante sur ]-; 5/2] et croissante sur [5/2; +[ . Est ce exact ?

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 01-06-09 à 11:34

non , c'est incomplet, regarde la fonction que j'ai tracée.

la dérivee est : h'(x) = 6(2x-5)³(2x-1)

elle s'annule donc deux fois , en 1/2 et en 5/2.

tu la trouveras:
positive ou nulle sur ]-inf; 1/2] donc f croissante
négative ou nulle sur [1/2 ; 5/2 ] donc f décroissante
positive ou nulle sur [5/2 ; +inf[ donc f croissante

Posté par
Yuko-san
re 01-06-09 à 11:42

Je ne comprend pas pourquoi  

Citation :
la dérivee est : h'(x) = 6(2x-5)³(2x-1)


Moi je trouve : h(x) = 3x (2x-5)^4 donc h'(x) = 3 * 8 (2x-5)^3 = 24 (2x-5)^2 * (2x-5)
Ou est mon erreur ?

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 01-06-09 à 11:45

attends... le x apres le 3 est une variable et non pas un signe multiplié.

donc tu dois utiliser la formule : (uv)'= uv'+ u'v avec u(x) = 3x et v(x)= (2x-5)4

regarde le post de 18:19

Posté par
Yuko-san
re 01-06-09 à 12:02

Ah oui c'est vrai ! Merci

Posté par
sarriette Correcteur
re : révision sur dérivées et fonctions composées 01-06-09 à 16:10

de rien bonne continuation



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