Inscription / Connexion Nouveau Sujet
roberto
Pouvez vous m'aider? J'ai deux problèmes mais j'ai même pas fait de leçon sur ça avant, donc je suis complètement perdue Sad j'utiliserais =< et >= pour superieur ou égal, et inferieur ou égal.
Merci d'avance
Voici les exos:
Que se passe t-il si l'on somme tous les termes (c'est à dire une infinité de termes) d'une suite Un qui converge vers 0? Obtient on une quantité finie ou infinie?
EXERCICE 1.
Etude de la somme Sn= 1+ 1/1!+1/2!+1/3+...+1/N! n entier appartenant à N*.
Rappelons la notion de factorielle d'un entier naturel.Soit n apartenant à N.On apelle factorielle de n l'entier noté n! défini par: n!=1x2x3x...xn si n>1 et 0!=1.
On introduit la suite Wn définie par Wn=Sn+1/n!, n appartenant à N*.
1)Démontrer que pour tout n>=2, Sn<S(n+1) et Wn>W(n+1)
2)Démontrer que les suites (Sn) et (Wn) sont adjacentes.
3)En déduire que les suites (Sn) et (Wn) admettent une limite commune que l'on notera l.
4)Démontrer que pour tout n>=2, Sn<l<Wn.
5)Démontrer que pour tout n appartenant à N*, n!Sn est entier.
6)Dans cette question , on suppose que l appartient à Q. Autrement dit qu'il existe des entiers p et q différents de 0 tels que l=p/q.
a)Démontrer qu'il existerait un entier a tel que
a/q!<p/q<a/q! +&/q!
(on utilisera le 4) appliqué à n=q)
b)Démontrer qu'alors a verifierait : a<p(q-1)!<a+1
c)En déduire une contradiction et conclure.
Nous démontrerons prochainement que la suite (Sn) converge vers e.
EXERCICE 2.
Etude de la somme Tn= 1/racinede1 + 1/racinede2 + 1/racinede3+...+1/racine de n, n appartenant à N*.
1)Demontrer que racine de n=<tn=<n, pour tout n appartenant à N*.
2)En déduire la limite de la suite (Tn)
MERCI D'AVANCE
1)
S(n) = 1+ 1/1!+1/2!+1/3+...+1/n!
S(n+1) = 1+ 1/1!+1/2!+1/3+...+1/n!+1/(n+1)!
S(n+1) - S(n) = 1/(n+1)!
S(n+1) - S(n) > 0
S(n+1) > S(n)
---
W(n)=S(n) + 1/n!
W(n+1)=S(n+1) + 1/(n+1)!
W(n+1) - W(n) = S(n+1) - S(n) + 1/(n+1)! - 1/n!
W(n+1) - W(n) = 1/(n+1)! + 1/(n+1)! - 1/n!
W(n+1) - W(n) = 2/(n+1)! - 1/n!
W(n+1) - W(n) = 2/(n+1)! - (n+1)/(n!.(n+1))
W(n+1) - W(n) = 2/(n+1)! - (n+1)/(n+1)!
W(n+1) - W(n) = (2-n-1)/(n+1)!
W(n+1) - W(n) = (1-n)/(n-1)!
Et donc pour n >= 2, W(n+1) - W(n) < 0
W(n+1) < W(n)
-----
2)
S(n+1) > S(n) --> La suite Sn est croissante. (1)
W(n+1) < W(n) --> La suite Wn est décroissante. (2)
W(n) - S(n) = 1/n!
lim(n-> oo) [W(n) - S(n)] = 0 (3)
W(n) - S(n) = 1/n!
W(n) - S(n) > 0
W(n) > S(n) (4)
Les relations de (1) à (4) --> les suites (Sn) et (Wn) sont adjacentes.
-----
3)
Comme les suites (Sn) et (Wn) sont adjacentes, elles convergent vers une limite commune, soit L cette limite.
-----
4)
Pour n >= 2:
Comme Sn est croissante, on a S(n) < L quel que soit n.
Comme Wn est croissante, on a W(n) > L quel que soit n.
--> S(n) < L < W(n) pour tout n >= 2.
-----
5)
S(n) = 1+ 1/1!+1/2!+1/3+...+1/n!
n!.S(n) = n!+ n!/1!+n!/2!+n!/3+...+n!/n!
n!.S(n) = n!+ n! + n(n-1)(n-1)*...4*3 + n(n-1)(n-1)*...5*4 +... + 1!
Le second membre est un somme de termes entiers --> c'est un entier.
Et donc le premier aussi: n!.S(n) est entier.
-----
6)
Essaie de continuer ...
C'est cela devient trop long pour moi.
-----
Sauf distraction. 
Annuler
connectez vous