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Séries géométriques

Posté par
MATT25 25-10-08 à 15:24

Bonjour,
je suis en prépa HEC. Je suis dans un exercice de DM de maths et j'ai vraiment besoin de votre aide, voici le problème et les pistes que j'ai:

Soit x]-1;1[.On pose Sn(x)=xk pour k variant de 0 à n.

1)Calculer Sn(x). En déduire que la suite (Sn(x))n0 converge et explicitez sa limite.

2)Calculer de 2 façons distinctes la dérivée S'n(x).

3)En déduire que
pour k variant de 0 à n de kxk= x.(nxn+1-(n+1)xn+1/(1-x)2

4)Déterminer lim quand n + de nxn

5)Montrer que la série nxn quand n0 converge et que de nxn pour n variant de 0 à +=x/(1-x)2

Alors j'ai trouvé:
pour la 1)
Sn(x)= (xn+1)/(x-1)-1/(x-1).
Et comme valeur absolue de x<1, alors Sn(x) converge vers 0.

2) S'n(x)=(nx(x-1)-(xn+1)/(x-1)2-1/(x-1)2

Et après c'est flou je ne sais pas quelles sont les 2 façons à utiliser pour dériver.
3)Je n'arrive pas à tomber sur le bon résultat.
4) Je ne sais pas calculer cette limite.
5)Je ne sais pas comment faire la démonstration.


Merci d'avance pour votre aide.

Cordialement,

Matt

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Séries géométriques 25-10-08 à 15:42

Bonjour,

1) Ton expression me semble bonne... mais pas la limite quand n tend vers +oo. Propose autre chose...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Séries géométriques 25-10-08 à 15:43

2) L'autre façon est tout simplement de dériver l'expression de Sn(x) donnée dans l'énoncé.

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 25-10-08 à 15:46

Bonjour Matt

3$\forall x\in]-1,1[\;S_n(x)=\Bigsum_{k=0}^nx^k={4$\fr{x^{n+1}-1}{x-1}=\fr{x^{n+1}}{x-1}-\fr{1}{x-1

1) Attention 3$S_n(x) ne tend pas vers 0 ... tu as oublié le terme 4$-\fr{1}{x-1

2) Première méthode : dériver la formule avec la fraction : 3$\red S'_n(x)={4$\fr{(n+1)x^n(x-1)-x^{n+1}\times1}{(x-1)^2}+\fr{1}{(x-1)^2}=...

Deuxième méthode : on écrit 3$\forall x\in]-1,1[\;S_n(x)=\Bigsum_{k=0}^nx^k=1+x+x^2+...+x^n
dont la dérivée est 3$\blue\forall x\in]-1,1[\;S'_n(x)=1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}=\Bigsum_{k=1}^nkx^{k-1}=\Bigsum_{k=0}^nkx^{k-1}

3) En multipliant la formule bleue par x, on tombe sur la rouge

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 25-10-08 à 15:46

Bonjour Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Séries géométriques 25-10-08 à 15:48

Bonjour gui_tou

Posté par
dagware : Séries géométriques 25-10-08 à 16:29

Bonjour MATT25,

1) Je suis d'accord avec toi pour la valeur de Sn. Comme |x|<1 |x|^(n+1) tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Donc la limite de Sn vaut 1/(1-x).

2) Je trouve S'n(x)= (nx^(n+1) - (n+1)x^n + 1)/(x-1)². La seconde méthode consiste à calculer la dérivée de x^k : (x^k)'=kx^(k-1) et il n'y a plus qu'à sommer.

Finalement S'n(x)= kx^(k-1),k=1,...,n..

La question 3 est alors triviale.

4) Quand x=0 nx^n tend vers 0 quand n tend vers .Si x non nul on a nx^n=e^lnn*e^nlnx=exp(ln n+ nlnx)=exp(n*(lnx+ln n /n))=0 car ln n/n tend vers 0 donc ln x + ln n/n tend vers lnx et e^n*lnx=x^n tend vers 0 car |x|<1.

5) D'après la question 4 nx^(n+1) tend vers 0 quand n tend vers l'infini, de même pour (n+1)x^n. Ainsi S'n(x) converge et vaut 1/(x-1)² et kx^k vaut x/(1-x)².

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 28-10-08 à 21:17

Merci de vos réponses.
Mais pour la 1) je ne comprend pas bien comment vous avez trouvé la lim de Sn vous pouvez m'expliquer?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Séries géométriques 28-10-08 à 21:37

Bonjour,

Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans la réponse 1) proposée par dagwa ci-dessus ?

Nicolas

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 28-10-08 à 21:48

Non c'est bon j'ai compris pour la 1) finalement.
Mais dans la réponse de gui_tou pour la 2) je n'ai pas compris pourquoi c'est
+ 1/(x-1)2 dans l'expression de S'n(x).
Moi je vois (u-v')=u'-v.
Je ne comprend pas pourquoi on met le signe +.

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 28-10-08 à 21:50

Je voulais mettre (u-v')=u'-v' pardon.

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 28-10-08 à 21:51

parce que la dérivée de 1/(x-1) c'est -1/(x-1)²

et vu que il y a un signe "-" devant ..

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 28-10-08 à 21:54

Ah non c'est bon j'ai compris j'avais pas pensé tout de suite que (1/x)'=-(1/x)2.

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 28-10-08 à 22:31

Par contre je n'arrive pas à faire la question 3) vous pouvez me donner plus d'indications svp?

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 28-10-08 à 22:32

tu as lu ma réponse ?

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 28-10-08 à 22:57

Oui mais je ne vois pas comment multiplier la formule bleue par x.

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 29-10-08 à 10:56

Si, pour tout 3$x\in]-1,1[ on a 3$S_n'(x)=\Bigsum_{k=1}^nkx^{k-1}={4$\fr{(n+1)x^n(x-1)-x^{n+1}+1}{(x-1)^2}}={4$\fr{nx^{n+1}-(n+1)x+1}{(x-1)^2}

et bien en multipliant l'égalité par x, il vient

3$x\times S_n'(x)=\fbox{\Bigsum_{k=1}^nkx^{k}={4$x\times\fr{nx^{n+1}-(n+1)x+1}{(x-1)^2}

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 30-10-08 à 21:31

Ok mais tu pourrais me dire comment tu trouve le quotient de la 1ere phrase stp je comprend pas exactement.

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 30-10-08 à 21:39

tu dérives 4$\fr{x^{n+1}-1}{1-x} par rapport à x..

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 30-10-08 à 21:40

ou plutôt  4$\fr{x^{n+1}-1}{x-1}

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 30-10-08 à 22:59

Voilà l'énoncé de la suite du même exercice:

On fixe + et on pose Sn= 1/k pour k variant de 1 à n.
1)a)
Justifier que nx, n+1n+2* dt/t 1/(n+1)n(n+1)*dt/t

b)Montrer que n   1, 1 n+1*dt/t         Sn        1+1 n    dt/t        

c)Calculer 1 n* dt/t    

Pourriez-vous me donner quelques pistes?

Merci beaucoup
Matt

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 30-10-08 à 23:03

1a) considère la fonction 4$\fr{1}{x^{\alpha} pour alpha>0.

Utilise la décroissance de la fonction pour écrire une inégalité sur [k,k+1] et ensuite intègre l'inégalité

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 16:16

Je vois pas comment faire tu peux développer un peu?

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 16:17

Il faut faire une démonstration par récurrence?

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 18:51

up!

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 31-10-08 à 19:50

Soit 3$n\ge1

3$\forall t\in[n,n+1]\;{4$\fr{1}{(t+1)^a}\le\fr{1}{(n+1)^a}\le\fr{1}{t^a}\le\fr{1}{n^a}   car la fonction 3$f:t\to\fr{1}{t^a} est continue, positive et décroissante sur 3$[1,+\infty[

3$\forall t\in[n,n+1]\;{4$\Bigint_n^{n+1}\fr{dt}{(t+1)^a}\le\fr{1}{(n+1)^a}\le\Bigint_n^{n+1}\fr{dt}{t^a}\le\fr{1}{n^a}

3$\forall t\in[n,n+1]\;{4$\fbox{\Bigint_{n+1}^{n+2}\fr{dt}{t^a}\le\fr{1}{(n+1)^a}\le\Bigint_n^{n+1}\fr{dt}{t^a}}\le\fr{1}{n^a}

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 31-10-08 à 19:51

Oups. A partir de la troisième ligne, enlève le 3$\forall t\in[n,n+1].

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 20:05

Pourquoi tu met soit n1?
Pourquoi écrire l'inégalité sur [k;k+1]?
Comment tu trouve ton inégalité?

Merci bien

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 31-10-08 à 20:21

Citation :
Pourquoi tu met soit n plus grand que 1?


parce que l'énoncé demande de démontrer une assertion valable pour tout  dans IN* ...

Citation :
Pourquoi écrire l'inégalité sur [k;k+1]?


j'ai adapté mes notations ; si tu préfères remplace k par n ..

Citation :
Comment tu trouve ton inégalité?


car la fonction blabla est positive, continue, 3$\red\rm\fbox{\fbox{\fbox{decroissante

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 20:42

Et tu as utilisé quoi comme formule du cours?

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 31-10-08 à 20:44

ba si une fonction est décroissante, et si on considère x<y ba f(y)<f(x) ^^

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 21:10

Pour la 2) je trouve

Soit n1,
t[n;n+1]1/tSn1/t1/n

t 1n dt/(t+1)Sn1+1 dt/t

c'est bon?

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 31-10-08 à 21:24

4$\forall n\ge1\;\fbox{\Bigint_{n+1}^{n+2}\fr{dt}{t^a}\le\fr{1}{(n+1)^a}\le\Bigint_n^{n+1}\fr{dt}{t^a}}

On somme pour n allant de 1 à p-1

4$\forall p\ge2\;\fbox{\Bigint_{2}^{p+1}\fr{dt}{t^a}\le\Bigsum_{n=1}^{p-1}\fr{1}{(n+1)^a}\le\Bigint_1^{p}\fr{dt}{t^a}}

4$\forall p\ge2\;\fbox{\Bigint_{2}^{p+1}\fr{dt}{t^a}\le\Bigsum_{n=2}^{p}\fr{1}{n^a}\le\Bigint_1^{p}\fr{dt}{t^a}}

4$\forall p\ge2\;\fbox{\Bigint_{2}^{p+1}\fr{dt}{t^a}\le S_p-1\le\Bigint_1^{p}\fr{dt}{t^a}}

4$\forall p\ge2\;\fbox{1+\Bigint_{2}^{p+1}\fr{dt}{t^a}\le S_p\le1+\Bigint_1^{p}\fr{dt}{t^a}}

on revient à du n :

4$\forall n\ge2\;\fbox{1+\Bigint_{2}^{n+1}\fr{dt}{t^a}\le S_n\le1+\Bigint_1^{n}\fr{dt}{t^a}}

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 21:29

Ok et pour la 3) il faut faire une intégration par partie?

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 31-10-08 à 21:30

pour la c : traite le cas a=1 puis a1

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 21:32

Ok et il y a une formule à utiliser?

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 31-10-08 à 21:35

ouep

pour a différent de 1, écris 4$\fr{1}{t^a}=t^{-a} dont une primitive est 4$\fr{t^{1-a}}{1-a}

(enfin tu devrais le savoir depuis la terminale )

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 22:05

Pour la c) je trouve
[(t1-)/(1-)]1n
=(n1-)/(1-)-(11-)/(1-)
=n-1

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 31-10-08 à 22:08

4$\Bigint_1^n\fr{dt}{t^a}=\[\fr{t^{1-a}}{1-a}\]_1^n={5$\rm\fr{n^{1-a}-1}{a-1}

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 22:29

Voilà la suite du même exercice:

2) On suppose =1.Montrer que lim Sn quand x+=+ et donner un équivalent de Sn.

3) On suppose ]0;1[. Comparer 1/k et 1/k.
Montrer que n1, Sn1/k pour k variant de 1 à n et en déduire lim Sn quand n+.

4) On suppose >1,
a) Donner la monotonie de la suite Sn.

b)Montrer que Sn est majorée par /(-1)

c)Montrer que la suite (Sn) n1 converge et que 1/n pour n variant de 1 à + /(-1)

Voilà ce que je trouve:

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 22:44

1)

1+ln(n)1/k pour k variant de 1 à n ln(n+1)

donc k variant de 1 à n= ln(n).

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 22:51

Et pour la 3)je trouve:
1/x est décroissante sur [1;+[
1n+1 dt/t 1/k pour k variant de 1à n1ndt/t
k*, on a kk+1 dt/t1/kk-1k dt/t.

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 23:02

C'est bon?

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 31-10-08 à 23:05

Citation :
donc somme k variant de 1 à n= ln(n).


j'espère que c'est un 3$\sim ^^

oui pour la suite, ça m'a l'air bon

attention quand même, tu prends k dans IN* donc k peut valoir 1, mais après tu commences une intégrale à k-1, donc possiblement 0 .. alors que la fonction n'est pas intégrable ça fait moche

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 31-10-08 à 23:37

ok merci pour l'aide bonne soirée

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 01-11-08 à 20:01

Pour la 4a) comment faire pour donner la monotonie de la suite?
Faut-il utiliser Un+1/Un?

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 01-11-08 à 21:02

tout bêtement S(n+1)-S(n)

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 01-11-08 à 22:13

Je trouve
S(n+1)- 1/k pour k variant de 1à n.

Posté par
gui_toure : Séries géométriques 01-11-08 à 22:25

oui et vu que S(n+1) = ...

Posté par
MATT25re : Séries géométriques 01-11-08 à 22:31

S(n+1)= 1/k pour k variant de 1 à n+1?

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