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simplification de somme

Posté par
mladele 29-12-08 à 00:57

bonjour,

j'ai un doute sur une simplification de sommes.
peut on écrire la chose suivante?

\sum_{k=2.2^m}^{2.(2^{m+1}-1)} \frac{1}{k}=\sum_{k=2^m}^{(2^{m+1}-1)} \frac{1}{2.k}= \frac{1}{2} \sum_{k=2^m}^{(2^{m+1}-1)} \frac{1}{k}

si la réponse est non, comment simplifier \sum_{k=2.2^m}^{2.(2^{m+1}-1)} \frac{1}{k} pour obtenir \sum_{k=2^m}^{(2^{m+1}-1)} \frac{1}{k} ?

merci pour vos réponses.

MLA

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : simplification de somme 29-12-08 à 10:02

Bonjour,

Ce que tu as fait me semble bon. Tu as procédé au changement d'indice k\to 2k.

Nicolas

Posté par
mladelere : simplification de somme 29-12-08 à 14:11

bonjour,

par contre il me semble qu'en procédant ainsi on oublie des termes de la somme...
merci.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : simplification de somme 29-12-08 à 14:16

Tu as raison. J'ai probablement oublié les k impairs !
Quel est l'énoncé exact ?

Posté par
mladelere : simplification de somme 29-12-08 à 18:47

a) Démontrer la minoration suivante (pour tout m ∈ N) :
\sum_{k=2^m}^{(2^{m+1}-1)} \frac{1}{k}>1/2

j'ai donc tenté une démonstration par récurrence.
vrai pour m=0.
on suppose que c'est vrai pour m et on vérifie que c'est aussi vrai au rang m+1.

et au rang m+1 j'ai
\sum_{k=2.2^m}^{2.(2^{m+1}-1)} \frac{1}{k}
que je voudrais simplifier pour retrouver une expression avec \sum_{k=2^m}^{(2^{m+1}-1)} \frac{1}{k}

merci

Posté par
mladelere : simplification de somme 29-12-08 à 18:50

pardon j'ai fais une erreur en tapant les sommes...

au rang m+1 j'ai :

\sum_{k=2.2^m}^{2.(2^{m+1}-1)+1} \frac{1}{k}

soit :
\sum_{k=2.2^m}^{2.(2^{m+1}-1)} (\frac{1}{k})+\frac {1}{2.(2^{m+1}-1)+1}

voilà, je pense que cette fois c'est plus juste...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : simplification de somme 29-12-08 à 18:55

Tu veux montrer que :

3$\bigsum_{2^m\le k\le 2^{m+1}-1}\frac{1}{k}\; >\;\frac{1}{2}

Une démonstration directe est possible.
On peut minorer tous les termes par le plus petit \frac{1}{2^{m+1}-1}, et même par \frac{1}{2^{m+1}} :

3$\bigsum_{2^m\le k\le 2^{m+1}-1}\frac{1}{k}\; >\;\bigsum_{2^m\le k\le 2^{m+1}-1}\frac{1}{2^{m+1}}\; =\;\left(2^{m+1}-2^m\right)\frac{1}{2^{m+1}}\; =\;\frac{2^m}{2^{m+1}}\; =\;\frac{1}{2}

Posté par
mladelere : simplification de somme 29-12-08 à 23:24

ah oui, vu comme ça c'est facile!!! pourquoi s'embêter avec des transformations ?
merci beaucoup!!

et ça marche pareil avec \sum_{k=2^m}^{(2^{m+1}-1)} \frac{1}{k^a} ?

par contre pour la borne inférieure ce sera bien \frac{1}{2^a}?

merci!
MLA

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : simplification de somme 30-12-08 à 09:29

Le plus petit élément est celui de plus grand dénominateur : 3$\frac{1}{\left(2^{m+1}-1\right)^{\alpha}}, probablement lui-même minorable par 3$\frac{1}{\left(2^{m+1}\right)^{\alpha}}=\frac{1}{2^{\alpha(m+1)} selon les conditions sur 3$\alpha

Posté par
mladelere : simplification de somme 31-12-08 à 13:55

merci beaucoup pour vos indications.
je vais essayer avec ça.

bonnes fêtes!!
MLA

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : simplification de somme 31-12-08 à 13:56

Je t'en prie. Bonnes fêtes à toi aussi.


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