Niveau exercices

Solution géométrique

Posté par
matheux14 04-05-24 à 20:33

Bonsoir à tous !

Bonne réflexion !

On donne $x = \dfrac{2\sqrt{7} \cos \theta + 1}{3}$ et $\cos(3\theta) = -\dfrac{1}{2\sqrt{7}}$

Montrer que :

$x = 2 \cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right), x = 2 \cos\left(\dfrac{3\pi}{7}\right)$ ou $x = 2 \cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right)$

Le plus direct serait de le faire analytiquement, mais c'est très long.

Une solution géométrique serait la bienvenue.

Posté par re : Solution géométrique 05-05-24 à 13:14

Bonjour,

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Posté par re : Solution géométrique 05-05-24 à 18:58

Bonjour,

j'ai bien vu l'heptagone là dedans
et une construction géométrique de l'heptagone en utilisant un trisecteur d'angle fait bien apparaitre ce $\sqrt{7}$ (Conway in "Le Livre des Nombres")

Solution géométrique

dans un cercle unité, on trace un réseau de triangles équilatéraux de côté la moitié du rayon (en bleu)

les points U, V, W sont des sommets de ce réseau
les trisecteurs de l'angle WUV (en mauve) coupent l'axe en les points X1, X2, X3 qui sont les cosinus cherchés

on calcule facilement que $UV = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ et donc $\sin\alpha = \dfrac{1}{2\sqrt{7}}$
on obtient les cosinus de l'énoncé en échangeant les axes.

mais "les propriétés géométriques" (alias la justification de cette construction) se ramène à déterminer l'équation dont les cosinus sont solutions... (via les racines n^èmes de l'unité puis la résolution d'une équation du 3ème degré par trisection d'un angle)

Posté par re : Solution géométrique 05-05-24 à 19:09

Bonsoir,
La méthode analytique est assez rapide.
En utilisant
$\Large \cos(3\theta) = 4\cos(\theta)^3-3\cos(\theta)$
on arrive immédiatement à
$\Large x^3-x^2-2x+1=0$
et en posant $\Large x=z+\dfrac1z$ on obtient bien
$\Large z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1=0$
dont les racines sont les $\Large \exp(\pm i k\pi/7)$ pour $\Large k= 1,3,5$ .

Posté par re : Solution géométrique 05-05-24 à 20:02

Bravo à vous !

mathafou J'ai trouvé une version de ce livre sur internet uniquement en broché. Y a t il un moyen d'obtenir la version numérique ?

Posté par re : Solution géométrique 05-05-24 à 20:21

aucune idée pour l'existence de versions numériques de livres papier publiés.
(ou la version anglaise d'origine chez Springer Verlag "The Book of Numbers" 1996)

Posté par re : Solution géométrique 05-05-24 à 20:35

Merci à vous !