ty dis que y est une solution strictement positive d'une equation différentielle, mais laquelle ?

Bonjour  la question est plutôt la suivante:
Supposons que y(t) >=0 et y est dans C1(0,T*)
et verifie y'(t)>=c1y(t)2-c2 ou c1 et c2 sont deux constantes strictement positives
je veut monter que T* est fini  des que y(0)>(2C2/C1)1/2.
Quelqu'un peut m'aider?merci d'avance.

Bonjour,

De mon boulot : C'est quoi encore cet énoncé qui n'en est pas un du reste... Quand tu sauras où tu veux aller, avec un énoncé correct et bien posé, alors... Je n'aime pas les énoncés par épisodes.

Tu es en master, je crois, non ?

Supposons que y(t) >=0 et y est dans C¹(0,T*)
et verifie y'(t)>=c₁y(t)²-c₂ ou c₁ et c₂ sont deux constantes strictement positives
je veut monter que T* est fini  des que y(0)>(2C₂/C₁)^1/2.

C¹(0,T*) : Peux-tu en dire plus, s'il te plait ? Je n'ai pas le don de divination...

c'est tout ce qui se trouve dans l'énonce de l'exercice : on veut montrer qu'avec les conditions données sur y(t) on a nécessairement T* fini

voici ce que j'ai fait:
si  y'(t)>=2c₁y(t)²-c₂ alors
(y'(t)+c₂)/y(t)²>=2c₁
je veut remplacer le terme à gauche de l'inegalité avec la derivée d'une fonctionf  à trouver,puis integrer entre t et s ,puis faire tendre t vers T*
mais je ne trouve pas la fonction f.

C'est       , y'   ay² - b   sur [0 , T[
ou

  y' ay² - b sur [0 , T[

  y' >= ay² - b sur [0 , T[

Pourquoi avoir parlé de "  solution strictement positive d'une équation différentielle. " ?

j'ai écrit un énoncé faux au debut.je m'excuse

Avec mes notations :

Soient T  ]0 , +]  , a > 0 , b > 0 et y : [0 , T[ de classe C1 vérifiant :  y ' ay² - b et y(0) >  (2b/a)^1/2 .  Il s'agit de montrer que T est un réel .

Si on pose Y = ay  et c = (ab)^1/2 on a  donc  Y '   Y² - c² et Y(0) > c2 .

1.On a Y '(0) > 0 et même  Y '(t) > 0  pour tout  de    [0 , T[ .
    Supposons le  contraire et soit m = Inf[ Y ' = 0 ] . On a : m > 0 et , comme [ Y = 0 ] est un fermé , Y '(m) = 0  donc Y(m) c .
Or sur [0 , m[ Y est strictement croissante donc  c < T(m)   c , ce qui est contradictoire .
2.Sur    [0 , T[  on a donc Y '/(Y² - c²) > 1 donc Y '/(Y - c) - Y '/(Y + c)  > 2c  .
Par suite , pour tout t de  [0 , T[  on a : ln (Y(t) -c)/(Y(t) + c)  - ln (Y(0) -c)/(Y(0) + c) > 2ct
ou encore (Y(t) -c)/(Y(t) + c)  > Kexp(2t) où K = (Y(0) -c)/(Y(0) + c)
Comme (Y(t) -c)/(Y(t) + c) est < 1 on voit que t < (1/2c)ln(1/K) ce qui entraine  T (1/2c)ln(1/K)■
Remarque : on ne se sert que de  Y(0)  > c . Le 2 était là pour nous embrumer !.