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somme de suite

Posté par
miura30 24-05-09 à 15:33

salut a tous je bloque sur un exercice de mon dm pouvez vous m'aider svp,
Voici  l'énoncé:
la suite (s_n ) est définie pour tout entier n par:

s_n=\frac{1}{n+\sqrt{1}} +\frac{1}{n+\sqrt{2}} + \frac{1}{n+\sqrt{3}} + ...+ \frac{1}{n+\sqrt{n}}

1]calculer s1,s2 et s3
2]en utilisant le plus petit terme et le plus grans terme de la sommes_n  ,montrer que pour tout n
\frac{n}{n+\sqrt{n}}\le s_n\le\frac{n}{n+1
3) en déduire la limite de cette suite


alors ce que je n'arrive pas a faire c'est de savoir si c'est une suite géométrique ou arithmétique pour pouvoir appliquer la formule

Posté par
Camélia Correcteurre : somme de suite 24-05-09 à 15:41

Bonjour

Elle n'est ni géométrique ni arithmétique et il n'y a pas de formule!

Il faut montrer les inégalités de 2) et utiliser le théorème des gendarmes.

Posté par
miura30re : somme de suite 24-05-09 à 18:20

donc en faite pour calculer s1,s2 et s3, il faut se servir des inégalités du 2) et utilisé le théorème des gendarmes ?

Posté par
miura30re : somme de suite 24-05-09 à 18:56

je trouve
s_1=\frac{1}{2}

s_2=\frac{2}{3}

s_3=\frac{3}{4}

est_ce juste?

pour le 2) je n'y arrive pas ,le plus petit terme c'est 0 mais le plus grand terme?

Posté par
miura30re : somme de suite 24-05-09 à 19:50

personne svp?

Posté par
miura30re : somme de suite 25-05-09 à 09:27

????

Posté par
Labore : somme de suite 25-05-09 à 10:27

bonjour
tes valeurs sont fausses...
S_1=\frac{1}{1+\sqrt{1}}=\frac{1}{2}

S_2=\frac{1}{1+\sqrt{1}}+\frac{1}{2+\sqrt{2}}=\frac{3-\sqrt{2}}{2}

S_3=S_2+\frac{1}{3+\sqrt{3}}=\frac{3-sqrt{2}}{2}+\frac{3-\sqrt{3}}{6}

Posté par
Labore : somme de suite 25-05-09 à 10:51

je me suis trompée.....
S1=1/2 OK

S_2=\frac{1}{2+\sqrt{1}}+\frac{1}{2+\sqrt{2}}=\frac{8-3\sqrt{2}}{6}

S_3=\frac{1}{3+1}+\frac{1}{3+\sqrt{2}}+\frac{1}{3+\sqrt{3}}=\frac{99-12\sqrt{2}-14\sqrt{3}}{84}

Posté par
Labore : somme de suite 25-05-09 à 11:13

pour 2)
pour tout n
0≤n+1≤n+√2≤n+√3..≤n+√(n-1)≤n+√n
\frac{1}{n+\sqrt{n}}\leq\frac{1}{n+\sqrt{n}}\leq\frac{1}{n+1}
\frac{1}{n+\sqrt{n}}\leq\frac{1}{n+\sqrt{n-1}}\leq\frac{1}{n+1}
\frac{1}{n+\sqrt{n}}\leq\frac{1}{n+\sqrt{n-2}}\leq\frac{1}{n+1}
...
\frac{1}{n+\sqrt{n}}\leq\frac{1}{n+\sqrt{2}}\leq\frac{1}{n+1}
\frac{1}{n+\sqrt{n}}\leq\frac{1}{n+\sqrt{1}}\leq\frac{1}{n+1}
on additionne les colonnes
\frac{n}{n+\sqrt{n}}\leq S_n\leq\frac{n}{n+1}

Posté par
miura30re : somme de suite 25-05-09 à 12:29

ok merci donc apres pour la limite on utilise le théorème des gendarmes et on voit que sa tend vers 0.

Posté par
Labore : somme de suite 25-05-09 à 13:09

plutôt vers 1
factorise n


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