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Niveau Maths sup
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Posté par
flopflop
28-12-08 à 18:40

Bonsoir, j'ai quelques soucis sur mon exercice de maths.

on définit une suite par u_0>0 et n, u_{n+1}=\sqrt{(u_n)^2+u_n}

1/ Montrer que la limite de cette suite est +\infty
2/ On pose v_n=u_{n+1}-u_n : montrer que (v_n) converge vers \frac{1}{2}

J'ai réussi à faire la question 2. Cependant je n'arrive pas à faire la 1ère question. Si vous pouviez m'aider ce serai bien sympa

Merci beaucoup

Posté par
gui_tou
re : Suite 28-12-08 à 18:46

salut

1) montre par récurrence que pour tout n, un>0 puis que (un) est croissante.

Deux cas se présentent :

¤ (un) admet une limite finie L>0 qui doit vérifier 3$L=\sqrt{L^2+L}

¤ (un) tend vers +\infty

Posté par
yaya0
re : Suite 28-12-08 à 18:47

salut
montrer tout d'abord que 1)Un superiere à 0 (recurence)
                         2) Un croissante
  en suite montrer le résultat par l'absurde

Posté par
flopflop
re : Suite 28-12-08 à 19:11

Merci de votre réponse
Pour ce qui est de Un>0 c'est bon
Mais comment montrez vous que (\u_n) est croissante ?

Posté par
kervad22
re : Suite 28-12-08 à 19:15

bonsoir flop flop
une piste mais pas mise en forme
on peut prouver que la suite est à termes positifs et croissante (strictement même)
donc si elle ne tend pas vers + l'infini c'est qu'elle est majorée par un nombre m > 0:pour tt n, un <= m
alors pour tt n u(n+1)/u(n) = racine(1 + 1/un) >= racine(1 + 1/m)
je note k = racine(1 + 1/m)   on a k > 1
et pour tt n, u(n+1)/u(n) > k  donc u(n+1) >= ku(n)
et donc (c'est rapide je reconnais) pour tt n, un >= (k^n)u0 et ceci tend vers + l'infini.
la suite n'est donc pas majorée.......

cette solution ne me plait pas plus que ça mais je n'ai pas trouvé mieux;ça te donnera peut-être des idées.
A plus.

Posté par
gui_tou
re : Suite 28-12-08 à 19:15

calcule un+1-un et utilise l'expression conjuguée

Posté par
kervad22
re : Suite 29-12-08 à 10:25

jolie solution de gui_tou (18h46). Je me disais bien aussi qu'il devait bien exister qq chose de plus élégant. Au revoir.

Posté par
Rodrigo
re : Suite 29-12-08 à 10:31

Bonjour, encore plus "élégant" (je trouve) tu as en factorisant par u_n, \frac{u_{n+1}}{u_n}=\sqrt{1+1/u_n}>1

Posté par
kervad22
re : Suite 29-12-08 à 14:56

bonjour rodrigo
le problème est que ça ne prouve pas que la limite est + l'infini.



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