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Suite de Fibonacci

Posté par
moctar 15-04-07 à 20:37

Bonsoir,
Soit \(U_n\) la suite définie par:
4$\{{U_0=1,U_1=1\atop \forall n>0,U_{n+2}=U_{n+1}+U_n}.
1.a.Montrer que pour tout n,4$U_n\ge n
b.En déduire que \(U_n\) est divergente.
2.Soit \(V_n\) la suite définie,pour tout n par:
       4$V_n=\frac{U_{n-1}}{U_n}
a.Montrer que 3$V_0=1 et pour tout n,4$V_{n+1}=1+\frac{1}{V_n}.
bReprésenter les premiers termes de la suite \(V_n\).Quelle conjecture peut-on faire ?
3.Montrer par récurrence sur n,que:
4$U_n=\frac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1}\sqrt{5}}.
J'ai fait une recherche sur le forum,mais je n'ai pas trouvé ce que je voulais,donc je sollicite votre aide sur les questions 2 et 3.
Merci d'avance

Posté par
Mihawkre : Suite de Fibonacci 15-04-07 à 21:03

bonsoir,

pour la 1a : tu peux montrer ca par une recurrence

pour la 1b : tu sais que la suite(vn) telle que vn=n est divergente...qu'est ce que ca signifie? que peux tu en deduire?

pour le reste on verra apres quand tu auras repondu aux premieres questions ^^

Posté par
anonymere : Suite de Fibonacci 15-04-07 à 21:07

2 . a/ il suffit de le vérifier bêtement
b/ tu calcules V0 v1 v2 ... que peux tu en déduire
3/ à l'aide d'une récurrence (dite forte) tu appliques ton hypothèse à Un et Un+1 et tu montres qu'elle est vérifiée par Un+2...

Posté par
Mihawkre : Suite de Fibonacci 15-04-07 à 21:09

zut j'avais pas vu la derniere phrase.... que les questions 2 et 3 ... ^^;

au temps pour moi ^^;

Posté par
moctarre : Suite de Fibonacci 15-04-07 à 21:25

merci pour vos réponses.

Citation :
2 . a/ il suffit de le vérifier bêtement

comment ça,je ne comprends pas.
Citation :
b/ tu calcules V0 v1 v2 ... que peux tu en déduire

je trouve:V_1=2;V_2=\frac{3}{2};V_3=\frac{5}{3};V_4=\frac{8}{5}
je n'arrive pas à conjecturer quelque chose.
Merci

Posté par
anonymere : Suite de Fibonacci 15-04-07 à 21:30

2/a, tu remplaces Vn par sa valeur en fonction des Un, c'est du pur calcul
2.b tu peux conjecturer quoi quant à la monotonie ou la limite ?

Posté par
moctarre : Suite de Fibonacci 15-04-07 à 21:37

j'ai compris pour le a)
pour le b) je peux conjecturer que la limite de Vn est égale à 1,6.

Posté par
Mihawkre : Suite de Fibonacci 15-04-07 à 21:38

pourquoi 1,6 ?

Posté par
anonymere : Suite de Fibonacci 15-04-07 à 21:39

non, pourquoi cette infime précision ?
Il suffit de dire qu'elle converge, puisque tu remarques que l'écart entre les termes V se serre de plus en plus !

Posté par
moctarre : Suite de Fibonacci 15-04-07 à 21:42

ah ok,je fais la 2é partie du a) et je vous montre ce que je trouve.

Posté par
moctarre : Suite de Fibonacci 15-04-07 à 21:56

je trouve \frac{1}{V_{n+1}}=1+V_n,contrairement à l'énoncé.

Posté par
mathématicsre : Suite de Fibonacci 26-08-07 à 17:07

Il faut conjecturer que les rapports convergent vers 1.6180339887 environ, soit (1 + 5)/2.

Un élève de troisième.


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