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Niveau maths spé
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Suite de fonction définie par récurrence.

Posté par
Shouhai
27-12-08 à 12:11

Bonjour!

Voilà mon problème :

La suite f_n définie sur [0;+] par f_0(x)=1 et pour n0 f_{n+1}(x)=\frac{1}{2}(\frac{x}{f_n(x)}+f_n(x))
J'ai déjà montré que f_n est strictement positive, de classe C infinie, que sqrtx f_{n+1}(x)f_n(x)

donc j'en déduis que f_n converge simplement vers la fonction constante égale à 1.
Là où je commence à avoir des problèmes c'est, montrer que f_n est strictement croissance pour n1 .
Je voulais le faire par récurrence, mais dans la phase d'hérédité je n'arrive à trouver la bonne majoration...

4- Montrer que pour n1 il existe deux polynômes unitaires premiers entre eux P_n et Q_n tels que :
Pour tout x [0;+] f_n(x)=\frac{P_n(x)}{2^nQ_n(x)}
avec degP_n=2^{n-1}, degQ_n=2^{n-1}-1 et P(0)=Q(0)=1
Pour cette dernière question je n'ai aucune idée...

Merci d'avance, et bonne journée!

Posté par
infophile
re : Suite de fonction définie par récurrence. 27-12-08 à 12:21

Bonjour ;

Tu es certain que la suite converge vers 1 ?

Posté par
Shouhai
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 11:14

Bah je ne vois pas comment ça peut tendre vers racine de x, il faut faire tendre |fn(x)-Vx| vers 0, Or avec l'inégalité Vx<fn(x)<1 on a juste 0<fn(x)-Vx<1-Vx ... Si je fait une erreur de raisonnement, merci de me l'indiquer...

Posté par
infophile
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 11:18

Non ça c'est pour la convergence uniforme.

Si ça tendait vers 1 en reportant dans la relation de récurrence il y aurait un truc qui cloche tu crois pas ?

Posté par
infophile
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 11:54

Oups j'avais vu une double barre, mais la limite n'est quand même pas 1.

Posté par
infophile
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 12:17

Y'a un truc bizarre, tu dis avoir prouvé \sqrt{x}\le f_{n+1}(x)\le f_n(x) donc (fn) serait décroissante, et après tu demandes de prouver qu'elle est strictement croissante..

Posté par
infophile
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 12:23

Oui voilà c'est bien décroissant, et minoré par \sqrt{x} donc converge vers une certaine limite f(x), en reportant dans la relation de récurrence on a f(x)=\sqrt{x} et pas 1

Posté par
Rodrigo
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 12:28

Bonjour, a vous 2
A mon avis il s'agit ici de montrer que la fonction f_n est croissante... ce qui m'a l'air d'etre faisable par récurrence.

Posté par
infophile
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 12:32

Si on a pour un certain n, fn+1=fn alors la suite est stationnaire.

Posté par
Rodrigo
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 12:34

Il dit qu'il a plus de genoux...

Posté par
infophile
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 12:36

Bonjour Rodrigo ;

A priori non, f_1(x)=\frac{x+1}{2} et f_2(x)=\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{4} et f_2(x)\le f_1(x)

Posté par
Rodrigo
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 12:39

Non mais on veut montrer que à n fixé, la fonction f_n est croissante, et pas que a x fixé la suite f_n est croissante (elle est decroissante)

Posté par
infophile
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 12:48

Ah oui ok au temps pour moi

Posté par
Shouhai
re : Suite de fonction définie par récurrence. 28-12-08 à 19:02

Oui d'accord pour la limite, j'ai confondu..
IL s'agit bien de montrer que la fonction f_n est strictement croissante, et non la suite f_n(x) !

Posté par
Shouhai
re : Suite de fonction définie par récurrence. 29-12-08 à 10:43

Merci de votre intérêt, mais j'ai réussi.



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