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suite et reccurence

Posté par
Accelerator 27-05-09 à 13:57


Bonjour ;
je suis bloqué sur un exercice et malgré mes calculs (la plupart inutile) , j'enchaine des tours en rond...
Je vous cite l'exercice:

Soit (Un) , suite définie par u_{0} = 2 et u_{n+1} = \frac{ -u_n + n}{4} avec n entier .
Soit (Vn) , suite définie par v_n= u_{n+1}- u_n
1°/ Démontrer que v_{n+1} = \frac{-1}{4} v_n + \frac{1}{4}
Fait
2°/ Exprimer v_n en fonction de n.
C'est ici que je bloque
3°/ Démontrer que u_n = v_{n-1} + v_{n-2}+ ... + v_0 + u_0  et exprimer Un en fonction de n.

Merci d'avance car systématiquement je tombe sur des résultats incohérents ou pire , je me retrouve aux expressions de départ...

Posté par
hypatiere : suite et reccurence 27-05-09 à 14:09

Bonjour,

Es-tu certain de ton énoncé ?
Tu peux donner ta démonstration du 1° ?

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 14:13

Bonjour,

Pour la 2)Tu peux wontrer que la suite (w_n) définie par w_n=v_n-\frac{1}{5} est géométrique...

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 14:16

U0= -2
et non U0= 2
Le reste est bon , pour la demonstration :
v_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}

ensuite je remplace avec les données de Un+2.

\Longleftrightarrow v_{n+1}= \frac{-u_{n+1}+ u_n +1 }{4} , j'obtiens
or v_n= u_{n+1} - U_n
ainsi on obtient la verification

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 14:23

merci pour vos réponses , mais comment calculer Wn n'ayant ni Wn , ni Vn ?

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 14:40

Il faut d' abord trouver la raison et le premier terme de (w_n)

u_0=-2

u_1=\frac{1}{2}

v_0=u_1-u_0=\frac{5}{2}

w_0=v_0-\frac{1}{5}=\frac{23}{10}

w_{n+1}=v_{n+1}-\frac{1}{5}=-\frac{1}{4}v_n+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=-\frac{1}{4}(v_n-\frac{1}{5})

w_{n+1}=-\frac{1}{4}w_n

Ainsi (w_n) est une suite géométrique de raison -\frac{1}{4} et de premier terme w_0=\frac{23}{10}

w_n=\frac{23}{10}\left(-\frac{1}{4}\right)^n

Tu peux maintenant remonter à v_n=\frac{1}{5}+w_n

puis à u_n avec la question 3)

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 14:45

merci pour cette réponse précise, je potasse

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 14:51

suite a ton premier message j'avais essayé mais en fait j'avez pas pensez à cette factorisation par 1/4 ...

J'y suis maintenant , pour (Vn) ,on ne peut pas écrire plus "simplement" que v_n = \frac{1}{5}+ \frac{23}{10}(\frac{-1}{4})^n  ??

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 14:53

Mais bien sûr!

v_n = \frac{1}{5}+ \frac{23}{10}(\frac{-1}{4})^n

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 14:55

Donc pour la forme de (Vn) en fonction de n , c'est bon , faudra a l'avenir que je réfléchisse mieu à ces factorisations !
Je vais réfléchir pour Un maitenant

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:05

je dois pas avoir l'esprit former pour les suites mais je trouve pas comment on peut montrer ceci (3°/ ).
Faut-il se reporter aupravant a une autre forme de Un comme u_n = u_{n+1}-v_n ?

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:23

Tu as affaire à une suite "téléscopique": la plupart des termes s' annulent dans la somme:

On repart de la définition de (v_n) en commençant au terme de rang n-1 et on continue pour les termes de rang inférieurs:

v_{n-1}=u_n-u_{n-1}

v_{n-2}=u_{n-1}-u_{n-2}

v_{n-3}=u_{n-2}-u_{n-3}

\vdots \vdots

v_2=u_3-u_2

v_1=u_2-u_1

v_0=u_1-u_0

Et on somme membre à membre ces n égalités; il reste:

v_{n-1}+v_{n-2}+v_{n-3}+\cdots+v_2+v_1+v_0=u_n-u_0

Si bien que:

u_n=u_0+v_0+v_1+v_2+\cdots+v_{n-3}+v_{n-2}+v_{n-1}

ou bien u_n=2+\Bigsum_{k=0}^{n-1}v_k

ou bien encore u_n=2+\Bigsum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{5}+\frac{23}{10}\left(-\frac{1}{4}\right)^n\right)

Reste à calculer la somme...

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:23

Euh, je voulais dire "somme télescopique"

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:27

il faut donc calculer S , la forumle avec nombre de terme , raison et le premier terme , ou je ne m'abuse ..

Posté par
littleguyre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:27

cailloux regarde trop la télé !

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:31

Oui, mais je te l' écris encore autrement:

u_n=2+\Bigsum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{5}+\frac{23}{10}\Bigsum_{k=0}^{n-1}\left(-\frac{1}{4}\right)^n

En général vous (les élèves ) savez calculer la seconde somme (de n termes consécutifs d' une suite géométrique), mais attention à la première...

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:33

Bonjour litteguy

Citation :
cailloux regarde trop la télé !


15 ans que je ne la regarde plus !

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:36

C' est vraîment me faire un mauvais procès

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:39


Par contre , je ne connais pas encore toutes les significations de tout ce qui est autour du

Pour la somme , ce n'est pas ;
v_0(\frac{1-q^{n-1}}{1-q})+ (n-1)(\frac{-1}{4})

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:48

Pas tout à fait:

Remarque d' abord qu' il y a n termes dans les sommes (on part de 0 jusqu' à n-1)

Dans la première somme, on ajoute n fois \frac{1}{5} qui donne \frac{n}{5}

La seconde donne \frac{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^n}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}\left[1-\left(-\frac{1}{4}\right)^n\right]

Au final:

u_n=2+\frac{n}{5}+\frac{46}{25}\left[1-\left(-\frac{1}{4}\right)^n\right]

que l' on peut un peu arranger:

u_n=\frac{5n-4}{25}-\frac{46}{25\times (-4)^n}

Un conseil: quand tu finis ce genre de calcul, il est prudent de vérifier que la formule trouvée marche en vérifiant que les premiers termes collent...

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:57

Je me rends compte qu' avec les copié-collé, j' ai fait des erreurs d' indice:

u_n=2+\Bigsum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{5}+\frac{23}{10}\Bigsum_{k=0}^{n-1}\left(-\frac{1}{4}\right)^k

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 15:58

Pour la seconde , pas de problèmes , j'ai oublié qu'on commencait de 0.
j'ai toujours du mal pour le n/5 de la "première"

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 16:00

Autant pour moi , j'ai pas fait le rapprochement avec ce 1/5  pour faire de (Wn) une Suite Geometrique...

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 16:05

Imginons que la suite (a_n) soit la suite constante a_n=\frac{1}{5}

a_0+a_1+\cdots +a_{n}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{5} où \frac{1}{5} figure n fois dans la somme

Cette somme vaut donc n\times \frac{1}{5}=\frac{n}{5}

non ?

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 16:09

oui , c'est bon , mais j'ai du ( on va dire ça ) croire que le 1/5 venait d'ailleurs

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 27-05-09 à 16:10

Posté par
Acceleratorre : suite et reccurence 27-05-09 à 16:25

C'est bel & bien OK ;
Je te remercie infiniment pour tes réponses précises.
Bonne continuation.
Pierre

Posté par
cailloux Correcteurre : suite et reccurence 28-05-09 à 10:28

Oh! je n' avais pas vu: un caillou !


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