Bonjour

Si la propriété n'est pas vraie au début, inutile d'examiner l'hérédité !
Donne-nous quand même cette fameuse propriété, histoire de vérifier.

d'accord
Soit n1 un entier naturel ; démontrer que :
1*2+2*3+3*4+...+= somme k(k+1)   , k=1
                                  
                                         =  (n(n+1)(n+2))/3

Pour n=1 ça marche, non ?

1(1+1) = 2
et
1(1+1)(1+2)/3 = 1(2)(3)/3 = 2

je ne comprend plus rien la ,  normalement le résultat ne devaient pas être égal à 1?
j'ai pas compris comment on résonne par récurrence alors!!!

1) Tu remplaces n par 1 et tu regardes si ça marche :

le premier membre se réduit à : 1(1+1), c'est-à-dire 2
le second s'écrit : 1(1+1)(1+2)/3, c'est-à-dire 2

Tu constates donc que la propriété est vraie pour n = 1

2) Ensuite tu supposes la propriété vraie à un rang quelconque, c'est-à-dire :
12+23+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

et tu cherches si alors elle l'est au rang suivant, c'est-à-dire si
12+23+...+n(n+1)+(n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)(n+3)/3

or 12+23+...+n(n+1)+(n+1)(n+2) =n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2)

donc

et tu obtiens rapidement par une simple factorisation :

Donc la propriété est héréditaire

3) Synthèse : elle est vraie au début et elle est héréditaire, donc elle est toujours vraie.

Sauf faute de frappe

en fait il faut que n soiot supérieur ou égal à 1 au début ?

j'ai compris comment faire alors