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suite et récurrence
Bonsoir!
Je dois justifier l'inégalité suivante:
n
(k=1 jusqu'à n) 1/k2n - 1
Voici ce que j'ai fait:
n1+(1/2+...+1/n2n - 1 ceci est valable si c'est aussi valable pour (n+1)
j'aurais donc:
n+1/(((n+1))(k=1 jusqu'à n+1)1/k=(k=1 jusqu'à n) 1/k +1/(((n+1))2n -1+1/(((n+1))
voila à partir d'ici je bloque et je ne vois plus comment arriver à (n+1) et 2(n+1)-1
Merci de votre aide
En fait il y a plusieurs méthodes, mais puisque tu propose une démonstration par récurrence on va procéder ainsi.
L'hypothèse de récurrence est bien :
Ce que tu cherches à démontrer c'est bien
Partons de l'hypothèse et rajoutons à chaque membre de la double inégalité le terme :
On obtient alors :
Je ne crois pas qu'une récurrence marche, en revanche une comparaison à une intègrale ...
Moi je pense qu'une simple comparaison à une intégrale donne rapidement le résultat mais une récurrence marche aussi, je l'ai faite rapidement.
Soit encore :
Il suffit alors de montrer que :
et
Ce qui est evident.
Si c'est pas clair tu signale, je détaille le calcul.
Par exemple pour la première :
On multiplie les deux membres par
Soit alors
Qui est vraie (il suffit de passer au carré)
Merci beaucoup!!! pour la partie de droite j'ai aussi multiplié par (n+1) et je me retrouve avec 4n²+3n4n²+4 est ce que c'est valable sachante que n
1 ??(j'espère que je n'ai pas fais d'erreur de calcul)
Non en fait à droite je trouve 4n²+3n4n²-n-1
Sachant que j'ai multiplié par (n+1) ceci:
2n -1 +1/(((n+1))2(n+1)-1
ensuite quand je résoud le 
ca marche en calculant les valeurs de x
On peux multiplier par mais il y a plus simple :
L'inégalité :
est équivalente à :
qui est évidente car le membre droite est positif et l'autre est négatif et il est clair qu'un nombre positif est plus grand qu'un nombre negatif.
Mais j'ai une petite question à te poser.
Oui c vrai ca marche comem ca aussi finalement j avais fait une erreure de calcul et je trouvais finalement:
4n²+3n4n²+7n+3 
Oui ok c'est quoi la question?
Si un individu dans la rue te pose la question :
mais tu n'a pas le droit de partir de ce que tu veux montrer pour le justifier, c'est à dire :
Tu veux montrer que
Tu n'a pas le droit de partir de cette inégalité par ce qu'on l'a pas, on cherche à prouver.
Même si l'individu en question est une vieille dame car ces dernières posent beaucoup de questions en maths, la réponse est très simple :
Tous les passages que tu vois ici c'est avec des équivalences logiques donc si la dérnière assertion est vraie alors la première l'est aussi.
Hmmm..Oui la logique..., un principe très intéressant en mathématiques. On trouve plusieurs choses tellement logiques et simples mais quand il s'agit de les justifier ca se complique ( en tout cas c'est le cas pour moi).
Tout ce que tu vois dans la rue c'est des mathématiques, le livre de notre nature est écrit dans un langage mathématique.
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