La 2 se résoud simplement par récurrence en utilisant le résultat de la 1..

Merci beaucoup pour cette piste. J'ai essayé par recurrence mais je ne maitrise pas bien le factoriel et je ne vois pas comment faire apparaitre le k.Auriez-vous une autre piste à me donner?
J'ai aussi essayé la question 3, en encadrant x par 1 et e.Mais je ne trouve pas le bn résultat, je trouve:
0I_n-1/e+1
Il y a le -1/e en trop et je ne sais pas d'où vient mon erreur...
Merci pour votre aide.

Bonjour,
Pour la 2)
Inisialisation :
Pour n=1 (...) la propriéte est vrai .

On suppose (1/n!)*In =
Au rang n+1 tu as
(1/(n+1)!)*In+1 qui est egale a (1/(n+1)!)*((-1/e)+(n+1)In)
si on devellope  on a :
(1/(n+1)!)*((n+1)In) + (1/(n+1)!)*(-1/e)

or (n+1)/(n+1)!=1/n!
On a donc (1/n!)*In + (1/(n+1)!)*(-1/e)
Tu remplace (1/n!)*In par se qu'on avait supposé c a d (1/n!)*In =
Puis il reste plus cas factoriser par (-1/e).
T'aura donc .

La propriéte est vrai au rang n+1 .D'apres le principe de recurrence elle est vrai pour tout n naturelle.

Merci beaucoup pour cette réponse trés compléte . cela m'a beaucoup aidé et c'est vrai que sous les "k" et les "!" se cachait une récurrence toute simple, cependant à la fin, je trouve le bon résultat mais avec un terme en trop, j'ai:
1-1/e (1/(n+1)!+ 1/k!)
J'ai 1/(n+1)! qui me reste sur les bras, je ne sais pas d'où vient mon erreur...Et pour l'initialisation, je n'arrive pas à montrer p(1) vraie, car quand je calcule I₁, je trouve -1, alors qu'on doit trouver 1-1/e je crois, pouvez-vous m'aider encore une fois ???

Salut
A la fin ta mal factorise c'est (si on factorise par (-1/e):
1-1/e*

Or =
et conclue .
Pour I1 refais le calcule .

AAh oui d'accord je vois, merci je vais refaire le calcul de p₁.Et est-ce que pour la 3éme question il faut bien commencer par encadrer x par 1 et e car je n'arrive pas au bon résultat ?? Un grand merci pour votre aide !!

J'ai réessayer de faire le calcul de I₁ à l'aide d'une intégration par parties et je trouve (-2/e)+1, mais ça ne correspond pas à ce qu'on doit trouver quand on fait le calcul à partir de l'expression de la question 2, je ne comprends pas , qqn peut-il m'aider ??

I1 = (-2/e)+1 est correct

Et par la question 2:

1/1! X I1 = 1 - 1/e.(1/0! + 1/1!)
I1 = 1 - 1/e(1/1 + 1/1)
I1 = 1 - 2/e --> même réponse.
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Sauf distraction.  

merci pour l'aide j'ai enfin réussi à finir cette question.Qqn pourait m'indiquer si mon encadrement est bon à la troisiéme question?

Désolée d'insister mais je bloque sur la troisième question:
j'ai commencé par encadrer (lnx)ⁿ par 0 et 1 mais j'arrive à : 0Iⁿ(-1/e)+1
Je ne comprends pas , pouvez-vous m'aider ?

sur [1 ; e] :

ln(1) <= ln(x) <= ln(e)
0 <= ln(x) <= 1

0 <= (ln(x))^n <= 1^n
0 <= (ln(x))^n <= 1

0 <= (ln(x))^n /x²  <= 1/x²

0 <= S(de1àe) (ln(x))^n /x²  dx <=  S(de1àe) 1/x² dx

0 <= In <=  [-1/x](de1àe)

0 <= In <=  [ 1 - 1/e]

et donc a fortiori :

0 <= In <= 1


0 <= In/n! <= 1/n!

0 <= lim(n-> +oo) In/n! <= lim(n-> +oo) [1/n!]

0 <= lim(n-> +oo) In/n! <= 0

et donc lim(n-> +oo) In/n! = 0

Erreur d'énoncé, la lim est pour n -> +oo et pas pour x -> +oo puisque l'intégration sur x se fait entre 1 et e.
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Sauf distraction.  

Merci beaucoup pour votre réponse, et oui excusez-moi je me suis trompée en recopiant l'énoncé c'était bien n au lieu de x , par contre je ne comprend pas pq on peut dire In est compri entre 0 et 1, s'il est compri entre 0 et
(-1/e)+1.J'aurai compri si c'était (1/e)+1 ..Mais là...?

Si un tas de pommes pèse moins de 10 kg

On peut dire à coup sûr que le tas de pommes pèse aussi moins de 15 kg

Donc si on a montré que :
Poids du tas de pomme <= 10 kg

on a aussi à coup sûr:
Poids du tas de pomme <= 15 kg

Si tu as compris, tu comprendras alors aussi que :

Si In <= [ 1 - 1/e]
on a, a fortiori :
In <= 1

Donc si In <= 0,6321

on est également sûr que In <= 1
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OK ?

Huuum désolée, c'est vrai que c'était un peu débile de ma part, oui c'est tout bête je viens de m'en rendre compte, merci beaucoup tout le monde , j'ai enfin réussi à finir mon DM !!a+