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Suites

Posté par zaza557 (invité) 09-05-07 à 18:37

Bonjour
Alors on a une suite U(n),t q U(o)= 0; U(n+1)= racine[3*U(n) + 4]
On a montré que cette suite était CROISSANTE, et qu'elle avait pour LIMITE 4
Là où je bloque c'est pour montrer que pour tout n  on a
4 - U(n+1) << 1/2 (4-U(n))
J'ai essayé une récurrence sans succès..
Des idées?

Posté par
cailloux Correcteurre : Suites 09-05-07 à 20:43

Bonsoir,

4-u_{n+1}=4-\sqrt{3u_n+4}=\frac{(4-\sqrt{3u_n+4})(4+\sqrt{3u_n+4})}{4+\sqrt{3u_n+4}}=\frac{16-3u_n-4}{4+\sqrt{3u_n+4}}=\frac{3(4-u_n)}{4+\sqrt{3u_n+4}}

Or u_n \geq 0 donc on a successivement:

3u_n+4 \geq 4

\sqrt{3u_n+4} \geq 2

4+\sqrt{3u_n+4} \geq 6

\frac{1}{4+\sqrt{3u_n+4}} \leq \frac{1}{6}

d' où: 4-u_{n+1} \leq \frac{1}{2}(4-u_n).

Posté par zaza557 (invité)Merci 09-05-07 à 21:02

Merci beaucoup cailloux

Posté par
cailloux Correcteurre : Suites 09-05-07 à 21:40


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