bonjour, tu devrais mieux spécifier les parenthèses :c'est la racine de (12+Un)

1)pour la récurrence:
tu initialises à U0=0<4
ensuite tu fais l'hyp de récurrence : Un<4 et tu regardes Un+1
on a Un+1=racine(12+Un)< racine(12+4)
je te laisse finir

2)il va falloir utiliser la question précédente.
tout d'abord 4-Un+1<1/4*(4-Un)<=> 12-4Un+1+Un<0
tu remplaces Un+1
tu as (12+Un)<4*racine(12+Un)
en mettant racine(12+Un) en facteur
racine(12+Un).[racine(12+Un)-4]<0
Or racine(12+Un)=Un+1 et là tu peux utiliser ta premiere question

Bonjour mellelea,

On fait tout, tout beau, tout propre.

On considère la suite définie par et pour tout n :

1) Montrer par récurrence que pour tout n :

2) Montrer que, pour tout n on a :
En déduire que converge et calculer sa limite.

On y va:

1) On va démontrer par récurrence la propriété suivante sur .
.
On ne demande pas de le faire, mais en principe il faudrait vérifier que ta suite et bel et bien définie, à savoir que (avec une récurrence facile, ça se fait très bien mais ce n'est pas demandé)

Initialisation pour n=0.
Par hypothèse, .
Donc est vérifiée.

Hérédité.
Hypothèse de récurrence: On suppose que P(n) est vraie pour un certain entier naturel p. Autrement dit, on suppose qu'il existe un entier p tel que .
Il nous faut alors montrer que .
Par construction de la suite , on a:


(puisque la fonction racine est croissante).


Conclusion.
D'après l'initialisation et l'hérédité, la propriété (n) est vraie pour tout entier naturel n. Autrement dit,




2) Cherche encore un peu

je vous remercie tous vraiment beaucoup car sans vous je n'y serai jamais arrivée merci merci merci merci !!

Joli Ayoub

mellelea >> Pour ma part, de rien.

Kévin >>

mellelea >> En fait, il y a une autre méthode beaucoup plus sympathique pour trouver la limite de la suite. Si tu as déjà vu la continuité, je peux toujours te la taper, si tu veux.

bonsoir Mellelea
hypothèse : 0 < n < 4
il faut prouver que : 4-V(12+n) < (4-n)/4
cette inégalité est vraie si et seulement si les suivantes sont vraies :
16-4V(12+n) < 4-n (on multiplie par 4)
16-(4-n) < 4V(12+n) (on fait passer le nombre de droite à gauche et le facteur 'racine carrée à droite)
12+n < 4V(12+n)
n²+24n+144 < 16(12+n) (on élève au carré)
n²+24n+144 < 192+16n
n²+24n-16n < 192-144 (on regroupe les n à gauche et les nombres chiffrés à droite)
n²+8n < 48
or (n < 4) entraîne n² < 16 et 8n < 32; donc n²+8n < 16+32
il y a peut-être une explication plus élégante que la mienne

la différence avec 4 étant toujours moins du quart de la différence précédente, les différences successives se rapprochent de 0 et la suite U a pour limite 4