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Suites adjacentes

Posté par
Pluto 01-11-07 à 13:14

Bonjour

J'ai un exercice de maths concernant les suites adjacentes. Voici l'énoncé :

Citation :

Les suites (Un) et (Vn) sont définies par : U0=-1 et V0=2 et pour tout entier n :

U_{n+1}=\frac{U_n+V_n}{2} et V_{n+1}=\frac{U_n+4V_n}{5}

1. a) Démontrez par récurrence que pour tout n, Un<Vn.
b) Démontrez pque les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.

2. Trouvez deux réels distincts a et b tels que les suites (sn) et (tn) définies pour tout n par : s_n=U_n+aV_n et t_n=U_n+bV_n soient géométriques (éventuellement constantes).

3. Exprimez sn et tn en fonction de n.

4. Trouvez la limte des suites (Un) et (Vn).


Pour le moment, voici ma démarche pour la première question :

Soit la proposition Pn telle que Un<Vn

1° étape : U0<V0 <=> -1<2 Donc P0 est vrai.

2° étape : Sous l'hypothèse Pn est vrai, je démontre que Pn+1 est vrai, pour tout entier n, tel que Un+1<Vn+1


U_n<V_n
<=> U_n+V_n<2V_n
<=> \frac{U_n+V_n}{2}<V_n

Donc U_{n+1}<V_n


U_n<V_n
<=> U_n+4V_n<5V_n
<=> \frac{U_n+4V_n}{5}<V_n

Donc V_{n+1}<V_n


U_n<V_n
<=> 2U_n<U_n+V_n
<=> U_n<\frac{U_n+V_n}{2}

Donc U_n<U_{n+1}

Puis je ne trouve rien avec des 3 inéquations. J'ai essayé d'exprimer dans la même inéquation Un+1 et Vn+1 mais je trouve, par exemple : U_{n+1}+\frac{V_n-U_n}{10}<V_{n+1} et je n'arrive pas à m'en servir.

Pourriez-vous me donner une piste ?

Pluto

Posté par
jacques1313re : Suites adjacentes 01-11-07 à 13:39

Vn+1-Un+1=\frac{U_{n}+4V_{n}}{5}-\frac{U_{n}+V_{n}}{2}=\frac{3}{10}\(V_{n}-U_{n}\)>0

Posté par
Plutore : Suites adjacentes 01-11-07 à 14:46

Merci beaucoup pour ton aide

U_{n+1}-V{n+1}=\frac{5U_n+5V_n-2U_n-8V_n}{10}=\frac{3}{10}(U_n-V_n}
Or, on suppose que U_n<V_n
donc U_n-V_n<0
donc \frac{3}{10}(U_n-V_n}<0
donc U_{n+1}-V_{n+1}<0

donc U_{n+1}<V{n+1}

La proposition Pn+1 est vrai.

Conclusion : La proposition Pn est vrai, on a donc, pour tout entier n, U_n<V_n

Je pense poster la suite de mes réponses cet après-midi

Pluto

Posté par
Plutore : Suites adjacentes 01-11-07 à 19:44

Les questions 1.b) et 4. nous renvoient à un autre exercice du livre "Etude simultanée de deux suites".


Il faut d'abord que je démontre qu'une suite est croissante, qui est (Un), et que l'autre, (Vn) est décroissante (je l'ai déjà démontré dans mon premier post).

Puis, en suivant le raisonnement de l'autre exercice du livre, il faudrait que je démontre que V_{n+1}-U{n+1}\le V_{n+1}-U_n\le\frac{4}{5}(V_n-U_n)

Il faudrait ensuite que je démontre, par récurrence, que V_n-U_n\le(\frac{4}{5})^n(V_0-U_0)

Puis, d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que \lim_{x\to +\infty} (V_n-U_n)=0


Est-ce que mon raisonnement est juste ?

Pluto

Posté par
Plutore : Suites adjacentes 01-11-07 à 21:59

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire si mon raisonnement est juste pour la question  1.b) ?

Pluto

Posté par
Plutore : Suites adjacentes 02-11-07 à 10:51

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire si mon raisonnement est juste pour la question 1. b) s'il vous plait ?

Merci d'avance

Pluto

Posté par
Plutore : Suites adjacentes 02-11-07 à 12:59

Mon raisonnement pour la question 1. b) est-il bon ? (message posté le 01/11/2007 à 19:44)



Pluto

Posté par
Plutore : Suites adjacentes 06-11-07 à 10:26

Bonjour,

J'ai réussi la question 1) a. Pour la 2), j'ai essayé de calculer \frac{S_{n+1}}{S_n} mais je n'arrive pas à trouver un réel.

J'obtiens :

\frac{\frac{5U_n+5V_n+2aU_n+8aV_n}{10}}{U_n+aV_n}=\frac{5U_n+5V_n+2aU_n+8aV_n}{10\times (U_n+aV_n)}

={\frac{5U_n+5aV_n+2aU_n+3aV_n+5V_n}{10\times (U_n+aV_n)}

={\frac{5U_n+5aV_n}{10\times (U_n+aV_n} +\frac{2aU_n+3aV_n+5V_n}{10\times (U_n+aV_n)}

={\frac{1}{2} +\frac{2aU_n+3aV_n+5V_n}{10\times (U_n+aV_n)}

J'en suis bloqué ici. Pourriez-vous m'éclairer ?


Pluto

Posté par
Plutore : Suites adjacentes 06-11-07 à 13:31

Quelqu'un pourrait-il m'aider pour la question 2 s'il vous plait ?


Pluto  

Posté par
Plutore : Suites adjacentes 06-11-07 à 19:29

Question 2 :

J'ai calculé S_n=S_{n+1}, donc une suite constante ("eventuellement constante est dit dans l'énoncé) et j'ai trouvé a=5/2




J'essaye de calculer b mais je n'y arrive pas, pouvez vous m'aider s'il vous plait ?


Pluto

Posté par
slorevivre : Suites adjacentes 06-11-07 à 19:46

je dirai putot que [\tex $v_{n+1}-u_{n+1}\leq {3\over 5}\times(v_n-u_n)$ donc $v_n-u_n\leq 0.6^n\times 3 /tex]

Posté par
slorevivre : Suites adjacentes 06-11-07 à 19:47

je dirai putot que [\tex ]$v_{n+1}-u_{n+1}\leq {3\over 5}\times(v_n-u_n)$ donc $v_n-u_n\leq 0.6^n\times 3 [/tex]

Posté par
slorevivre : Suites adjacentes 06-11-07 à 19:56

donc (v(n)-u(n)) tend vers 0et ensuite  b=-1

Posté par
Plutore : Suites adjacentes 06-11-07 à 20:11

Salut  

Merci beaucoup pour ton aide, j'ai compris ce que tu as fait, mas je ne trouve pas les mêmes résultats :



U_{n+1}-v{N+1}=\frac{U_n+V_n}{2}-\frac{U_n+4V_n}{5}

U_{n+1}-v{N+1}=\frac{5U_n+5V_n-2U_n-8V_n}{10}

U_{n+1}-v{N+1}=\frac{3U_n-3V_n}{10}

U_{n+1}-V{n+1}=\frac{3}{10}(U_n-V_n)

Donc la suite U_n-V_n est une suite géométrique de raison 3/10 et de terme initial -1-2=-3. Donc b=-1 et on a la suite t_n=U_n-V_n=(\frac{3}{10})^n\times (-3)


Merci beaucoup pour ton aide , je passe à la question suivante...

Posté par
slorevivre : Suites adjacentes 06-11-07 à 20:16

tu as raison je crois j'ai relu trop vite ce qui precede

Posté par
slorevivre : Suites adjacentes 06-11-07 à 20:27

u(n) et v(n) ont la mm limite L et u(n)+v(n)=s(n)=4 donc L=2

Posté par
Plutore : Suites adjacentes 06-11-07 à 20:49

Re

Citation :
u(n)+v(n)=s(n)=4 donc L=2


Je ne suis pas sur pour 2 raisons :

==> Tout d'abord on a trouvé s_n=U_n+\frac{5}{2}V_n et t_n=U_n-V_n

==> J'ai entrée les 2 suites dans ma calculatrice et elles ont l'air de tendre vers 1,428 qui est très éloigné de 2.


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