Voici un petit exercice, selon mon prof de maths, de niveu 1ere S , j'en suis pas très convaincu

énoncé :

Définition: On dit que deux suites sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante et si leur différence tend vers 0.
Application: Si deux suites sont adjacentes, elles sont convergentes et ont la même limite.


On considère les suites U et V définies pat : U₀=5 et quele que soit l'entier natureln, V_n= 5 / U_n et U_n+1= (U_n+ V_n)/ 2

1) Démontrer par récurence que les suites U et V sont positives.

2)Démontrer que l'on a: U_n+1- V_n+1= [(U_n-V_n)² / [ 2(U_n+V_n)]  et en déduire que l'on a, quel que soit l'entier n, V_nU_n

3) Démontrer que U est une suite décroissante et V est une suite croissante.

4) Déduire du (2) que l'on a: U_n+1-V_n+1 (U_n-V_n)/2 et démontrer par récurrence que l'on a U_n-V_n4/2ⁿ

5) Démontrer que l'on a (V_n)²5(U_n)² et en déduire des questions précédente la limite de U et celle de V.