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Suites de Heron

Posté par
fx159 28-05-09 à 10:10

Bonjour,
J'ai un petit problème pour une montrer une majoration,si vous pouvez m'aider ça serait cool!
La suite de Heron est définie comme ceci: un+1=1/2(un+a/un) avec u0a>0.
En fait je n'arrive pas à montrer la majoration suivante:
0un+1-a(1/(2a))*(un-a)2.
Donc j'ai voulu utiliser le théorème du point fixe mais je n'aboutis pas à cette majoration,et je ne trouve nulle part la démonstration de cette inégalité.
Merci d'avance pour votre aide.
FX

Posté par
cailloux Correcteurre : Suites de Heron 28-05-09 à 10:20

Bonjour,

u_{n+1}-\sqrt{a}=\frac{1}{2}\,\left(u_n+\frac{a}{u_n}-\sqrt{a}\right)

u_{n+1}-\sqrt{a}=\frac{1}{2}\,\frac{u_n^2-2\sqrt{a}u_n+a}{u_n}

u_{n+1}-\sqrt{a}=\frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2u_n}

On peut démontrer par une petite récurrence que u_n\geq \sqrt{a}

donc avec la relation précédente que:

u_{n+1}-\sqrt{a}\leq \frac{1}{2\sqrt{a}}(u_n-\sqrt{a})^2



Posté par
fx159re : Suites de Heron 28-05-09 à 10:31

Merci beaucoup cailloux...J'avoue que c'était pas si difficile que ça,mais je voyais pas l'astuce, je cherchais un peu trop compliqué avec le thm du point fixe qui ne donnait pas la bonne majoration.

Posté par
cailloux Correcteurre : Suites de Heron 28-05-09 à 10:42

De rien fx159


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