Bonjour, j'ai quelques soucis avec ce DM.
Voici l'énoncé :
Une tasse de café est servie à une température initiale de 80 °C dans un milieu dont la température est de 10 °C.
Le but de et exercice est d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L'un, dans la partie A, utilise une suite ; l'autre, dans la partie B, utilise une fonction.
Voici la PARTIE A :
Dans cette partie, pour tout entier naturel n, on note Tn la température du café à l'instant n, avecTn exprimé en degrés Celsius et n en minutes.
On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quel onques n et n + 1 par l'égalité :
Tn+1 − Tn = −0, 2 (Tn − 10).
1. D'après le contexte, p eut-on conjecturer le sens de variation de la suite (Tn) ?
2. Montrer que pour tout entier naturel n : Tn+1 = 0, 8Tn + 2.
3. On pose, pour tout entier naturel n : un = 70 × 0, 8n + 10.
a) Montrer que pour tout entier naturel n : un+1 = 0, 8un + 2 et que u0 = 80. Que p eut-on en déduire pour les suites (un) et (Tn) ?
b) Déterminer la limite de la suite (Tn).
c) Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
ET LA PARTIE B (qui ne m'a pas posé de problème)
Dans cette partie, pour tout réel t positif ou nul, on note f (t) la température du café à l'instant t, avec f (t) exprimé en degrés Celsius et t en minutes.
Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que f est une fonction dérivable sur l'intervalle [0 ; +∞[ et que, pour tout réel t de et intervalle, la loi de Newton se modélise par
l'égalité :
f ′(t) = −0, 2(f (t) − 10).
1. Écrire et résoudre l'équation différentielle modélisant cette situation. Trouver l'expression de f (t).
2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0; +∞[.
3. Une personne aime boire son café à 40 °C.
a) Trouver un encadrement d'amplitude 0,01 de l'unique nombre réel t0 appartenant à [0 ; +∞[tel que f (t0) = 40.
b) Donner la valeur de t0 arrondie à la seconde
Alors c'est surtout la partie A qui me pose des problèmes
1) J'utilise Tn+1 − Tn = −0, 2 (Tn − 10) en démontrant que −0, 2 (Tn − 10)<0 donc Tn+1 − Tn <0......donc décroissante
2)OK j'utilise Tn+1 − Tn = −0, 2 (Tn − 10), je développe et trouve le bon résultat
3)j'arrive bien à démontrer que un+1 = 0, 8un + 2 et que u0 = 80 MAIS je ne trouve pas quoi dire sur (un) et (Tn) ??? je dirai un = Tn??
du coup je bloque pour la suite
Merci pour votre aide
Bonsoir
juste de passage
le texte devrait être :
n en exposant
On a bien la même valeur initiale 80 et la même relation de récurrence.
Bonsoir,
Moi aussi juste de passage.
Dans 1), "D'après le contexte, peut-on conjecturer" signifie qu'il faut s'inspirer du contexte pour supposer quelque chose.
Le contexte : "température initiale de 80 °C dans un milieu dont la température est de 10 °C".
La température va-t-elle augmenter ou diminuer ?
J'enfonce le clou avec cet extrait : "Le but de et exercice est d'étudier le refroidissement".
Une aide pour l'écriture des messages :
Pour les exposants et les indices, il y a les boutons «X2» et «X2» sous le rectangle zone de saisie.
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.
Merci pour vos réponses
J'ai bien compris que le café va refroidir mais je ne trouve pas la réponse à la question 3/ Que peut on en déduire pour les suites un et Tn?
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