personne n'a une petite idée pour commencer??

je ne demande pas une réponse mais juste une méthode

bonjour,

ton inégalité doit être vraie pour tout réel x ? Parce qu'alors ça va coincer...

non désolé c'est pour tout réel x positif merci pour la remarque

bonjour à tous

je bloque sur le début d'un exercice:
on note n! le produit des n entiers non nuls inférieurs ou égaux à n
On a donc n!=1x2x3x4x...x(n-1)xn

On me demande de démontrer par récurrence qur pour tout n1:
exp(x)x^n/n!

et j'aimerais savoir si pour touc c appartenant aux réels -c(exp(-x))=c(exp(x))

merci pour vos réponses

*** message déplacé ***

bonjour à tous voilà l'énoncer de mon exercice (je ne demande pas des réponses mais juste la méthode pour commencer)

On note n! le produit des n entiers non nuls inférieur ou égaux à n.
On a donc n!=1x2x3x...x(n-1)xn (ici x= singne du produit)
démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n1 :e(x)x^n/n! por tout réel positif x

merci d'avance aux personnes qui auront réfléchient à mon problème

*** message déplacé ***

Bonjour,
l'hypothèse est vraie pour n=1
Suppose-la vraie pour n. Tu sais que e(x) est >0 pour tout R, et x^n est positif pour x positif. Tu peux donc intégrer les deux termes de ton inégalité au rang n pour x>0  ce qui donne :
Somme(t=0..x, e(t)dt) >= Somme(t=0..x, t^n/n!)
Et tu peux majorer le terme de gauche en étendant l'intégrale jusqu'à -inf :
Somme(t=-inf..x, e(t)dt) >= Somme(t=0..x, e(t)dt) >= Somme(t=0..x, t^n/n!)
Le premier et le dernier termes se calculent facilement, et il vient :
e(x) >= (x^(n+1))/(n+1)!
Ce qui est ce que tu veux démontrer.
(désolé, c'est la réponse, au moins une réponse, je n'ai pas pu résister )

*** message déplacé ***

merci mais je ne comprend pas trop: Somme(t=0..x, e(t)dt) >= Somme(t=0..x, t^n/n!)
Et tu peux majorer le terme de gauche en étendant l'intégrale jusqu'à -inf :
Somme(t=-inf..x, e(t)dt) >= Somme(t=0..x, e(t)dt) >= Somme(t=0..x, t^n/n!)

ce que je comprends pas :c'est que symbolise t
                        la notation Somme (t=-inf...x) surtout le -inf...x
                        et pour quoi à la fin il faut calculer le premier et le dernier therme

*** message déplacé ***

As-tu déjà étudié les intégrales ?

Ce que j'appelle Somme(t=a..b, f(t)dt) c'est l'intégrale de la fonction f(t) entre les bornes a et b, sachant que les bornes peuvent être infinies (cas a=-inf) ou variables (cas b=x), et dans ce dernier cas le résultat est une fonction de x

Par ailleurs, tu peux majorer l'intégrale de e(x) en l'étendant jusqu'à -inf car e(x) est >0 sur tout R, et l'intérêt c'est que la primitive de e(x), qui est encore e(x), s'annule en -inf.

Et pourquoi il te faut calculer le premier et le dernier termes ? C'est parce que on les a fabriqués exprès pour qu'ils te donnent le résultat que tu cherches

*** message déplacé ***

désolé mais je ne connais pas les intégrâles il y a pas un autre moyen pour y arriver sinon???

*** message déplacé ***

bonjour à tous j'ai un problème dans un déponstration par récurrence

On note n! le produit des n entiers non nuls inférieur ou égaux à n.
On a donc n!=1x2x3x...x(n-1)xn (ici x= singne du produit)
démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n1 :e(x)x^n/n! por tout réel positif x

merci d'avance aux personnes qui auront réfléchient à mon problème

on a déjà éssayer de m'expliquer mais la personne utilisait les integrales que je n'ais pas encore vu
pour l'instant j'ai démontrer que p(o) est vraie mais je sèche

*** message déplacé ***

Effectivemnt, on peut faire sans l'intégrale, juste avec la dérivée.
Tu peux considérer la fonction :
f(x)=e(x)-x^n/n!
Elle est dérivable :
f'(x)=e(x)-x^(n-1)/(n-1)!
Par hypothèse de récurrence, e(x)-x^(n-1)/(n-1)! >= 0
donc f'(x) >= 0,
donc f(x) est monotone croissante
donc pour tout x > 0 tu as f(x) > f(0)
or f(0) = 0
donc f(x) >= 0
donc e(x)-x^n/n! >= 0

*** message déplacé ***

comment tu trouves la dérivé de n! stp et encore merci pour tout ce temp que tu m'accordes

*** message déplacé ***

En fait j'ai fgait une petite erreur, mais sans conséquence sur le résultat. Tu as f(0) = 1 et non pas f(0) = 0 comme je l'ai écrit, donc f(x) >=1 donc a fortiori f(x) >= 0 et le reste continue.

Et pour répondre à ta question, tu ne dérives pas n! qui dépend de l'entier n donc constant par rapport  à x.
Tu as (x^n)' = n.x^(n-1)
donc (x^n/n!)' = (1/n!).(x^n)'
= (1/n!).n.x^(n-1)
= (n/n!).x^(n-1)
= (1/(n-1)!)x^(n-1)
(reprendre la définition de n! pour comprendre que n/n! = 1/(n-1)! )
= (x^(n-1))/(n-1)!

*** message déplacé ***

est-ce que tu saurais comment trouver la solution de 0.5x²+x(e(-x)-1)=0?

*** message déplacé ***

Tu as une première solution en x=0.
En mettant x en facteur et en cherchant à annuler l'autre facteur, soit
(x/2+exp(-x)-1), tu trouves une valeur approchée à 1,6 avec deux zéros derrière. Tu peux démontrer que cette deuxième solution est unique, tu peux la vérifier à la calculatrice graphique, mais je ne pense pas qu'il existe de solution "exacte" au sens où elle s'exprimerait avec des fonctions et des constantes usuelles.

*** message déplacé ***

wolvi01 :