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Suites (la suite^^)

Posté par zaza557 (invité) 09-05-07 à 21:13

Bonsoir
Est ce que quelqu'un aurait une idée sur la manière de trouver la limite en +infini de
(2^n)/( n^2005)? (n est strictement positif)

Posté par
infophilere : Suites (la suite^^) 09-05-07 à 21:17

Bonsoir

3$ \rm \ln\(\frac{2^n}{n^{2005}}\)=\ln(2^n)-\ln(n^{2005})=n\ln(2)-2005\ln(n)=n\(\ln(2)-2005.\frac{\ln(n)}{n}\)

Posté par
Nightmarere : Suites (la suite^^) 09-05-07 à 21:41

Bonsoir

Une méthode un peu plus longue mais sympathique qui nous permet de rester dans le cadre des suites :

3$\rm On note U_{n}=\frac{2^{n}}{n^{2005}}
3$\rm U_{n+1}=\frac{2\times 2^{n}}{(n+1)^{2005}}=2\times \frac{2^{n}}{n^{2005}\times \(1+\frac{1}{n}\)^{2005}}
Ainsi :
3$\rm U_{n+1}=\frac{2}{\(1+\frac{1}{n}\)^{2005}}U_{n}

Or :
3$\rm \(1+\frac{1}{n}\)^{2005}\longrightarrow_{n \infty} 1
Donc 1+1/n est aussi proche de 1 que l'on veut pourvu que n soit assez grand.

Ainsi à partir d'un certain rang n, on aura par exemple 3$\rm \(1+\frac{1}{n}\)^{2005}\le \frac{3}{2}
D'où :
3$\rm \frac{2}{\(1+\frac{1}{n}\)^{2005}}\ge \frac{4}{3}
Et finalement :
3$\rm U_{n+1}\ge \frac{4}{3}U_{n}
On montre facilement que pour tout n, 3$\rm U_{n}\ge \(\frac{4}{3}\)^{n}U_{0}
Or 3$\rm \(\frac{4}{3}\)^{n}U_{0}\longrightarrow_{n\infty} +\infty d'où le résultat.

C'est certes plus long mais pratique lorsqu'on a pas vu les logarithmes.

Posté par
infophilere : Suites (la suite^^) 09-05-07 à 21:53

Salut Jord

Bien vu !

Posté par zaza557 (invité)Merci 10-05-07 à 20:14

Merci beaucoup :)


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