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Symétrie de fonction : un vrai casse-tête
Bonjour à tous,
J'ai un exercice de math où l'on me demande de démontrer que les courbes représentatives des fonctions suivantes admettent un axe ou un centre de symétrie. (Dans un plan orthogonal donc, ...)
* f définie sur R par f(x)=x^2ß1
* g définie sur ]-00;1[U]1;+00[ par g(x)=(3x-2)/(x-1)
J'ai essayé avec le dernier cours que nous venons de voir : les fonctions associés, cependant, je ne vois pas trop comment procéder, bloquer dès le début sur la fonction f, avec le "+3x".
J'ai essayé avec le cours le plus probable fournit par le livre : celui des éléments de symétrie d'une courbe, qui dit que si (a+x)€D alors (a-x)€D ; et que f(a+x)=f(a-x). Si cela est vérifié (et seulement si ), alors la courbe C admet la droite d'équation x=a comme axe de symétrie.
Ce même cours du livre dit aussi que, si (a+x)€D etc ..., et que (f(a+x)+f(a-x))/2=b, alors la fonction admet un cnetre de symétrie de coordonnée (a;b).
Cependant, même si le cours semble assez explicite, je ne comprends toujours pas comment démontrer les fonctions f et g ...
J'ai essayé de transformer x^2 +3x -1 de façon à trouver que f(a+x)=f(a-x), sans succès, idem pour g(x) :/
J'ai demandé à un ami en TerminaleS comment s'y prendrait-il, il m'a parlé de changement de repère (?) et de forme canonique (??) ... Bref, tout ça pour dire que je n'ai pas avancé d'un poil !
Si vous pouviez me donner une marche à suivre afin que je me débrouille pour trouver le résultat, je vous en serais très reconnaissant !
Avec mes plus grands remerciements d'avance,
Jonathan.
L'expression de f(x) est incompréhensible.
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g(x)=(3x-2)/(x-1)
Asymptote verticale : x = 1
S'il y a un axes ou un centre de symétrie , c'est à l'abscisse 1
g(1+x) = (3(1+x)-2)/((1+x)-1)
g(1+x) = (3x+1)/x
g(1-x) = (3(1-x)-2)/(1-x-1)
g(1-x) = (-3x+1)/(-x)
g(1-x) = (3x-1)/x
g(1+x) + g(1-x) = (3x+1)/x + (3x-1)/x
g(1+x) + g(1-x) = (3x+1+3x-1)/x
g(1+x) + g(1-x) = 6x/x
g(1+x) + g(1-x) = 6
[g(1+x) + g(1-x)]/2 = 3
--> le point (1 ; 3) est centre de symétrie de la courbe représentant g(x)
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Sauf distraction. 
(Merci pour cette première réponse, J-P !, le forum avait mal formaté mon expression de f(x) ...)
f(x) = x² + 3x - 1
f(a+x) = (a+x)² + 3(a+x) - 1
f(a+x) = a² + 2ax + x² + 3a + 3x - 1
f(a-x) = (a-x)² + 3(a-x) - 1
f(a-x) = a² - 2ax + x² + 3a - 3x - 1
f(a+x) = f(a-x) si :
a² + 2ax + x² + 3a + 3x - 1 = a² - 2ax + x² + 3a - 3x - 1
2ax + 3x = - 2ax - 3x
2x(2a + 3) = 0
Ceci est vrai pour tout x si a = -3/2 -->
La droite d'équation x = -3/2 est axe de symétrie de la courbe représentant f(x)
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Sauf distraction.
Merci beaucoup J-P, je n'en attendais pas tant !
J'ai compris ta démarche, c'est le plus important, c'était donc bien simple ...
Encore une fois, Merci !
Cependant, je viens de m'apperçevoir en prenant ton message en note sur mon brouillon que je ne comprends pas cette étape dans ta démarche :
f(a+x) = f(a-x) si :
a² + 2ax + x² + 3a + 3x - 1 = a² - 2ax + x² + 3a - 3x - 1
2ax + 3x = - 2ax - 3x
2x(2a + 3) = 0
a² + 2ax + x² + 3a + 3x - 1 = a² - 2ax + x² + 3a - 3x - 1
On a "a² + x² + 3a - 1" dans chacun des membres de l'équation --> on peut enlever "a² + x² + 3a - 1" des 2 cotés du signe = .
On arrive alors à :
2ax + 3x = - 2ax - 3x
2ax + 3x + 2ax + 3x = 0
4ax + 6x = 0
2x(2a + 3) = 0
Désolé, mais je n'ai toujours pas compris pourquoi cherche t'on une égalité à valeur = 0 ... 
Mais merci tout de même
J'ai montré que pour avoir f(a+x) = f(a-x)
Cela revient à trouver la valeur de a telle que 2x(2a + 3) = 0 quelle que soit la valeur de x.
a = -3/2 donne: f((-3/2) +x) = f((3/2) - x) et permet de conclure que : La droite d'équation x = -3/2 est axe de symétrie de la courbe représentant f(x)
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Que dire de plus ?
merci beaucoup pour tes explications, cela m'a bien aidé...
Comment repères-tu l'abscisse x = 1 ? Je ne sais pas ce qu'est un asymptote vertical ...
Merci.
Pardon, je me suis mal exprimé : je vois bien grâce à ma calculatrice, que la probabilité tiens à ce que x = 1 pour le centre de symétrie, cependant, dans l'ennoncé de la fonction g j'ai :
g définie sur ]-00;1[U]1;+00[
1 n'appartient donc pas à l'intervalle où est définit g ?
Le centre de symétrie d'une courbe n'appartient pas obligatoirement à la courbe.
Soit en bleu le tracé d'une partie de la courbe représentant g(x) et en rouge le point C(1 ; 3) centre de symétrie de la courbe représentant g(x).
Cela signifie que si on on prend un point A quelconque sur la courbe représentant g(x), le point A' tel que est aussi sur la courbe représentant g(x).
C'est vrai quelle que soit la position du point A pris sur la courbe reprsentant g(x).
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