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Theoreme de convergene domine et convergence uniforme

Posté par
astroq123 27-11-16 à 23:42

Bonjour,
Svp aidez moi a calculer cette limite de f
lim_{x\rightarrow +inf} \int_{1}^{\frac{3}{2}}{(\sqrt{sin(t)x^{2}+tx+ 1}-\sqrt{sin(t)x^{2}+e^{t}-t^2})dt}
Pour cela jai utiliser le theoreme de convergence domine
f converge simplement vers \int_{1}^{\frac{3}{2}}{\frac{t-e^{t}}{2\sqrt{sin(t)}}}

Mais comment trouver une fonction g qui est integra. Et tel que |f|<g? Et ce qu'on prouver f converge uniforment ?
Merci

Posté par
etniopalre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 00:13

Sup { |f(x,t)| │ x >0 , 1  t 3/2 } < +
et toute  application  constante de 1 , 3/2] vers est intégrable .


Posté par
astroq123re : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 06:55

On a trouvé la limite simple, mais est ce cela signifie qu'elle est le sup ???

Posté par
luzakre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 08:13

Bonjour !
Dans le théorème de convergence dominée on n'utilise que la convergence simple, pour x=+\infty, de la famille x\mapsto{(\sqrt{sin(t)x^{2}+tx+ 1}-\sqrt{sin(t)x^{2}+e^{t}-t^2})dt}.

Si f(x) désigne l'intégrale initiale que voudrait dire "convergence uniforme de f "?
Et ta question sur le "sup" que veux-tu trouver ? "sup" de quelle fonction ?

Posté par
astroq123re : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 09:05

Ca veut dire majorer la fonction a integrer par une fonction integrab et ne dependant que de t

Posté par
etniopalre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 09:30

Je n'ai pas dit qu'il fallait calculer   Sup { |f(x,t)| │ x >0 , 1   t   3/2 } , mais qu'il suffisait de montrer que ce sup est un réel .
Façon de dire que  l'ensemble des applications  f(x,.) : t f(x,t)  de [1 , 3/2 ] vers est majoré par une application constante .
Ou encore qu'il existe un réel c tel que pour tout (x,t)  de [1 , 3/2 ]   on a : |f(x,t)| c .

Posté par
astroq123re : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 14:50

J'ai essaye de trouver le reel c

Le domaine de definition de f(x) est
]-inf : q] \bigcup{}[k;+inf[ avec k>0 (j'ai pas fait le calcul de q et k), alors\left|f(x,t)\right|\leq \sqrt{cos(t)k^2+kt+1}+\sqrt{k^2cos(t)+e^{t}-t^2} et qui est integra, alors la limite est est la limite simple,
Est ce que c'est juste?

Posté par
luzakre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 15:22

astroq123 @ 27-11-2016 à 23:42

Bonjour,
Svp aidez moi a calculer cette limite de f
lim_{x\rightarrow +inf} \int_{1}^{\frac{3}{2}}{(\sqrt{sin(t)x^{2}+tx+ 1}-\sqrt{sin(t)x^{2}+e^{t}-t^2})dt}
Pour cela jai utiliser le theoreme de convergence domine
f converge simplement vers \int_{1}^{\frac{3}{2}}{\frac{t-e^{t}}{2\sqrt{sin(t)}}}

Mais comment trouver une fonction g qui est integra. Et tel que |f|<g? Et ce qu'on prouver f converge uniforment ?
Merci

Tout ce que tu racontes est assez peu compréhensible !
f est, si je comprends bien, définie par f(x)=\int_1^{\frac32}\varphi(x,t)\mathrm{d}t (il manque l'ensemble A où se situe x).
Alors parler de "convergence simple" pour f n' a pas beaucoup de sens.
Tu dois prendre la limite simple g, pour t\in[1,\dfrac32], de x\mapsto\varphi(x,t) (ou encore g(t)=\lim_{x\to+\infty}\varphi(x,t)).
Déjà je ne vois pas d'où tu sors \dfrac{t-e^t}{2\sqrt{\sin t}}. Où il y a une erreur dans l'expression de \varphi(x,t) ou il y a une erreur dans le calcul de limite.

Quand tu auras rectifié tu pourras dire que la limite de f est \int_1^{\frac32}g par application de la convergence dominée si tu peux montrer qu'il existe (ce n'est que suffisant) un réel c majorant |\varphi(x,t)|,\;x\in A,\;t\in[1,\dfrac32]. Forcément, ce réel c majore également |g(t)|.

A mon avis en regardant ce que tu as fait pour trouver g tu devrais obtenir un majorant convenable.

Posté par
DOMOREAre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 15:43

bonjour,
\forall t\in [1,\frac{3}{2}] lim _{x\longrightarrow +\infty}\sqrt{sin(t)x^2+tx+1}-\sqrt{sin(t)x^2+e^t-t^2}=0   donc l'intégrale sur cet intervalle borné fermé tend vers 0.

Est-ce tout ? ou je me trompe ?

Posté par
astroq123re : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 15:43

Oui la limite simple est \int_{1}^{3/2}{\frac{tdt}{2\sqrt{(sin(t)}}}
Mais pour majorer f(x,t) est ce
La methode employée avant est juste?

Posté par
DOMOREAre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 16:08

re oui en effet
j'ai ignoré le tx  mais la limite simple me semble \int_1^{3/2}\frac{t}{2\sqrt{sin(t)}}

Posté par
DOMOREAre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 16:13

re avec dt évidement  ta limite simple est donc juste
donc ...

Posté par
luzakre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 16:39

Et si tu lisais ce qu'on t'écrit !

Citation :

A mon avis en regardant ce que tu as fait pour trouver g tu devrais obtenir un majorant convenable.

Ta limite simple g est maintenant exacte. Comment l'as-tu trouvée ?

Posté par
luzakre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 16:43

Citation :
Mais pour majorer f(x,t) est ce
La methode employée avant est juste?

Où vois-tu une méthode dans çà :
Citation :

Le domaine de definition de f(x) est
]-inf : q] \bigcup{}[k;+inf[ avec k>0 (j'ai pas fait le calcul de q et k), alors\left|f(x,t)\right|\leq \sqrt{cos(t)k^2+kt+1}+\sqrt{k^2cos(t)+e^{t}-t^2} et qui est integra, alors la limite est est la limite simple,
Est ce que c'est juste?


Des q,k inconnus, des \cos qui débarquent d'où ? une majoration non expliquée ?

Posté par
etniopalre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 17:03

DOMOREA

Soit , pour n entier > 0 ,  fn  : [0 , 1]   , continue , affine sur chacun des 3 intervalles [0 , 1/n] ,  [1/n , 2/n[ ,  [2/n , 1] et telle que f(0) = f(2/n) = f(1) = 0  , f(1/n) = n .

La suite n fn  converge simplement vers 0 mais fn  = 1 pour tout n .

Posté par
astroq123re : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 17:25

Salut tous,
Je vais expliqué la methode
Le domaine de def (pour x)
Est de la forme ]-inf;q]\bigcup{}[k;+inf[ (si quelqu'un aime faire des calculs, vous pouvez trouvé les valeurs de k et q, j'ai utilisé un LOGICIEL pour trouver k et q), puis je vais appliquer le theoreme de convergence dominé sur [k;+inf[x[1;3/2]
Alors puisque x>q alors \left|f(x, t) \right| \leq \sqrt{cos(t)}k^2+.....)
Cette expression ecrite avant est obtenu par encadrment en fixant t et en variant x
Est ce que cest bon?

Posté par
etniopalre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 17:43

f(x,t) = u(x,t)/v(x,t) où u(x,t) =  tx + 1 -exp(t) + t²    et v(x,t) = (x²sin(t) + tx +1)1/2 + (x²sin(t) + exp(t) - t²)1/2

Pour chaque t de [1 , 3/2] ,  quand x + , u(x,t) tx et v(x,t) 2x(sin(t))1/2 donc f(x,t) t(sin(t))-1/2/2 .

f(x,.) converge donc simplement vers g : t t(sin(t))-1/2/2  quand x + .

|u(x,t)|   tx + 1 + t² 3x/2 + 1 + 9/4
v(x,t)   2xm  , où   m  =    (Min( (sin(1))1/2,(sin(3/2))1/2)  donc | f(x,t)|     a + b/x ( où (a,b) = ... ) et f(x,t) a + b si x > 1 .

De là  : f(x,.) g   ( quand x   + )

Posté par
etniopalre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 17:51

Pour x et t [1  , 3/2]    x²sin(t) + tx +1 et  x²sin(t) + exp(t) - t²  sont   0  donc pas de question sur le " domaine de définition "

Posté par
luzakre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 18:13

astroq123 @ 28-11-2016 à 17:25

Salut tous,
Je vais expliqué la methode
Le domaine de def (pour x)
Est de la forme ]-inf;q]\bigcup{}[k;+inf[ (si quelqu'un aime faire des calculs, vous pouvez trouvé les valeurs de k et q, j'ai utilisé un LOGICIEL pour trouver k et q), puis je vais appliquer le theoreme de convergence dominé sur [k;+inf[x[1;3/2]
Alors puisque x>q alors \left|f(x, t) \right| \leq \sqrt{cos(t)}k^2+.....)
Cette expression ecrite avant est obtenu par encadrment en fixant t et en variant x
Est ce que cest bon?

La limite du radical pour x=+\infty est infinie.
Comment, pour x\geqslant k peux-tu majorer x^2\sin t par k^2\cos t ?
Cela fait 3 fois que je te le demande !

Posté par
astroq123re : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 18:28

excusez moi c'est
\left|f(x,t) \right|\leq \sqrt{k^2sin(t)+kt+1}-\sqrt{k^2sin(t)+e^tk-t^2}
car
x\geq k

c'est tout.

Posté par
astroq123re : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 18:28

astroq123 @ 28-11-2016 à 18:28

excusez moi c'est
\left|f(x,t) \right|\leq \sqrt{k^2sin(t)+kt+1}+\sqrt{k^2sin(t)+e^tk-t^2}
car
x\geq k

c'est tout.
astroq123

Posté par
astroq123re : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 18:29

l'espression precedente est fauuse il faut mettre in +

Posté par
luzakre : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 18:43

Quel entêtement : comment peux-tu passer de \red x\geqslant k à \red x^2\sin t\leqslant k^2\sin t ?

autre façon de voir : tu as la différence de deux expressions de limite +\infty et tu majores par la somme d'expressions de limite infinie.

Tu ne vois pas que la possibilité de majoration vient de ce que tu as une différence : il faut repasser par l'expression conjuguée qui te mettra une somme en dénominateur et un numérateur négligeable devant le dénominateur.

Posté par
astroq123re : Theoreme de convergene domine et convergence uniforme 28-11-16 à 19:07

merci


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