Quel est l'objectif ? J'ai vu ta précédente énigme mais j'avoue n'avoir pas trop compris ! Un petit rappel ici serait agréable

Il est difficile de définir précisément l'objectif , je donne juste l'idée . On voit sur la figure des rubans de même épaisseur dont certaines parties sont cachées mais il faut supposer qu'elles existent . D'autre part la frontière des rubans de classe C1 est uniquement constituée d'arcs de cercles . Il faut aussi respecter toutes les symétries apparentes de la figure . En bref il faut refaire « proprement » le dessin . La réalisation peut être unique à une similitude près ou pas , ici ça n'est pas évident .
On peut facilement donner une construction approchée en masquant des points triples légèrement décalé mais le but est de produire une figure exacte sans tricherie masquant les défauts .

Je suis tout à fait conscient que l'énoncé n'est pas clair , il s'agit de retrouver les intentions de l'auteur comme quand nous cherchions à reproduire des frises ou des rosaces dans notre enfance
  
Imod

Bonjour,
On s'amuse à tracer à  main" très" levée.
La figure s'inscrit dans un hexagone régulier et est composé de 3
modules formés d'un demi-cercle *de rayon R sur lequel s'appuient 2
demi-cercles de rayon 0.7R  fermés par un demi-cercle de rayon 0.4
l'intesection des grands demi-cercles forme un triangle équilatéral de coté R.

* je dis demi-cercle ,je devrais dire demi-anneau (épaisseur à déduire )
                                                                                                                                                  

Joli !

On voit le problème quand on dessine la figure sans les caches comme l'a fait Dpi



Il faut un nœud serré aux endroits que j'avais repérés et ce n'est pas complètement évident

Imod

Mon idée était de donner une piste...
le mot clé est noeud serré ce qui fait intervenir l'épaisseur des demi-disques soit e
Nous avons 3 types de demi-disques dans un des 3 modules.
Partons du petit ,on observe D1=4e puis D2=7e et enfin D3=10e
La construction se fait ainsi pour chacun des 3 modules:
On trace un triangle équilatéral de coté 10e.
Sur un de ses cotés on trace vers l'intérieur un demi -disque D3 (épaisseur e) puis vers l'extérieur les deux demi_disques D2 qui se croisent puis le petit demi-disque D1 qui ferme la boucle.
On fait de même pour les deux autres cotés.

Mon compas étant défaillant je vous griffonne un module.

Soit aux superpositions près

Ne t'inquiètes pas , j'avais bien compris ton idée

Si on veut reproduire la figure en cachant des points voisins sous l'épaisseur du trait on peut y arriver aisément . Je pense d'ailleurs que l'auteur du dessin a usé et abusé du procédé ( certaines longueurs ne sont pas exactement égales ainsi que certains alignement ou autres "cocyclicités" ) . Mon objectif est de retrouver les contraintes et de réaliser "proprement" la figure , sans approximation  . On peut voir des demi-cercles sur le dessin comme beaucoup d'autres choses , il est important de lister les indiscutables en commençant par imaginer la figure complète comme tu l'as fait :  la figure est inscrite dans un cercle avec trois axes de symétrie et elle est constituée de trois rubans de largeurs égales . En fait c'est ce qu'on veut mais le dessin initial ne respecte pas vraiment les contraintes .

Pour moi le nœud serré est une des clés . Il y a plusieurs façon de le faire sans demi-cercle et il génère ensuite quasiment l'ensemble de la figure .



Les points bleus forment un triangle équilatéral mais il reste à trouver la forme souhaitée dans la partie centrale pour bien démarrer et finir le dessin .

Imod

On obtient :

Si on dessine proprement ta figure avec trois motifs obtenus par rotation on retrouve le problème que j'ai déjà évoqué :



Dans le rectangle rouge il faut des points triples et ce n'est pas le cas .

On peut bien sûr se dire que l'erreur est imperceptible et passer outre mais ce n'est pas l'objectif de l'exercice .

Imod

bonjour,

le mieux est d'imposer par construction ces points triples et ensuite d'en déduire les arcs de cercles correspondants.



la figure précédente a été obtenue ainsi, à partir du triangle équilatéral ABC :
arbitrairement les cercles verts de centre A, le petit passant par B et le grand de rayon augmenté de d arbitraire (curseur)
ceci définit, par les images de ces cercles par rotations de centre O de +/-120°, les points triples D et E et par conséquent le cercle rouge circonscrit à ADE, et son collègue de même centre I et de rayon augmenté de d

les points triples A, D, E sont ainsi exacts par construction.

on construit alors des cercles tangents communs aux cercles verts et rouges, de centre J arbitraire sur une certaine ellipse de foyers A et I, et son symétrique.

pour rendre "plus aigu" les croisements externes, il faudrait choisir un rayon des cercles verts internes différents de AB.
et/ou augmenter le nombre d'arcs raccordés entre eux.
(ici seulement 4 arcs de ruban pour le motif de base)

Bonjour,
Une fois admis ma méthode du 17 à 9h27 basée sur l'épaisseur,on
peut réaliser la figure avec plus ou moins de précision selon l'outil.
Sur Excel ce n'est pas évident.
J'ai bien 6 points triples en rouge...qui correspondent aux noeuds
de l'énoncé...

Bonjour dpi,

ce dessin ne correspond pas à ta méthode du 17 à 9h27
elle donne ça :



les intersections T, U et V devraient être exactement sur la frontière de la zone hachurée

Il y a 9 points triples en tout et tu ne pourras jamais les avoir tous avec ton motif , le logiciel utilisé n'est pas en cause .

J'avais suivi la même piste que Mathafou  et il y a clairement une infinité de solutions si on n'impose rien à "l'hexagone" central . On peut tout de même se demander si on ne peut pas imposer à ce noyau un caractère esthétique ( forcément discutable ) qui rendrait la solution unique .

Imod

A la réflexion , il y a une contrainte qui semble assez naturelle : les côtés du triangle de Reuleaux central  sont coupées en parts égales par les arcs de cercle .

Imod

preuve en détail :



BC =10e et donc le cercle rouge a pour rayon (10e-2e)/2 =4e
le cercle vert a pour diamètre 4e donc le cercle bleu a pour rayon (4e-2e)/2 = e

MN = 10e/2 = 5e (droite des milieux)
or 4e + e = 5e, les cercles bleu et rouge sont donc tangents en P.
tous les points du cercle rouge en particulier T et U sont extérieurs au cercle bleu

Oui et j'ajoute celui de diamètre 7e continuation ouest en A .

certes, mais il n'intervient pas dans l'erreur des points triples.

le problème de ta construction est les valeurs numériques.
parce que dans le principe on peut "ajuster" tout ça pour que ça marche.
mais je doute que cela fonctionne avec des valeurs rationnelles

une construction "règle et compas" assez simple qui marche, avec des demi cercles.



on part du triangle équilatéral ABC de côté a
sur la médiatrice de BC on place le centre I des cercles "du coté de A", à distance AI = k*a, k de l'ordre de 1/3 marche bien.
la parallèle à (BC) par I définit les diamètres des cercles
on trace donc le demi cercle (rouge) de centre I passant par A
et le demi cercle (vert) de centre I passant par B (et C)
l'image de ce demi cerce par rotation donne le demi-cercle brun, de centre I1
son intersection avec le cercle rouge précédent définit le point triple D et par conséquent l'épaisseur du ruban :
ce point définit l'image du grand demi-cercle vert : (demi) cercle de centre I₂ passant par D (en pointillés), c'est à dire le rayon de ces grands cercles.
D est donc un point triple "par construction", de même que A. et que l'image E de D par symétrie.

la suite est ensuite facile. (juste fastidieuse pour cacher les parties cachées)
en version "transparente" :

C'est donc possible avec des demi-cercles , je n'y croyais plus . Quand tu dis que la construction est possible avec k de l'ordre de 1/3 , tu veux dire que ce k est unique ?

Imod

non, k est variable et libre, c'est la seule variable d'ajustement qui reste si on impose des demi-cercles.

mais si k est trop grand, les rubans se télescopent

valeur limite aux environs de 0.46 :



et si k est trop petit les rubans deviennent très fins et la boucle interne minuscule.



le "environ 1/3" est pour avoir une allure semblable à la figure d'origine, avec un hexagone central pas trop déséquilibré (ton message de 18-02-24 à 11:00)

maintenant, si on cherche une exactitude pour cet hexagone, la solution sera bien entendu unique (après un calcul sans doute affreux ... ou une approximation "expérimentale")

PS : dans tous les cas les points triples l'étant "par construction" sont toujours exacts.

Les trois arcs égaux n'était qu'une proposition , le dessin laissant bien d'autres portes ouvertes

Le retour aux demi-cercles de Dpi laisse envisager une solution simple parmi toutes les autres . Partir du triangle ABC pour gérer les points triples est la bonne idée mais d'un autre côté les demi-cercles rouges et bleus génèrent la figure de la même façon :



Imod

il faut tout de même construire les points triples avec ce départ là, ce qui donnera comme conséquence la largeur du ruban ... qui ne peut pas être fixée à priori sous peine de ne pas avoir de points triples du tout (à part A lui-même bien sur)

la suite de la construction (équivalent en gros à ce que je fais !)
pourrait être ;



le point triple D est le symétrique de A par rapport à une parallèle en I à AC
(alias droite des centres (IK), alias intersection des cercles marron et rouge)
la largeur du ruban est alors d = JD - JA = M'U (édit M'U, pas MU)
ce qui permet de tracer les grands demi-cercles (de rayons augmentés de d) etc

Il ne s'agissait absolument pas de changer le mode de construction mais simplement d'observer le problème sous un autre angle . Peut-être pour voir apparaître une idée de la conception ou pourquoi pas une amélioration du dessin .

Imod

on est d'accord que voir le départ comme partant de ABC pour en déduire les demi-cercles rouge bleu vert, ou partir de ces cercles définis à priori pour en déduira ABC et la suite est équivalent.
voire partir de IJK, ou partir d'un triangle dont IJK est le triangle médian etc etc ...
mais en tout cas, les diamètres des plus grands demi cercles n'ont pas d'extrémités communes (jamais) qui formeraient un grand triangle équilatéral.

on remarque bien sur que IAD est un triangle équilatéral
c'est toujours le cas si les arcs de cercles rouge et vert sont concentriques, dans le cas le plus général discuté précédemment d'autre chose que des demi-cercles.

mais ça n'avance pas tant que ça pour obtenir la largeur du ruban qui n'est bien entendu pas (jamais) AD = AI

il y a des tas de points qui ne sont pas sur les cercles ou qui sont distincts, bien qu'ils en soient proches, entrainant des approximations néfastes si on croit qu'ils le sont.

Bonjour,
Cette idée (17 à 9h27)des demis cercles concentriques d'épaisseur e(ou  d).
est basée sur les noeuds serrés  qui donnent  les diamètres  :
1/(2e ;4e)
2( 5e; 7e)
3 (8e ;10e)
Dans ce cas la longueur de chacun des 3 serpents est 10.5 e , soit 32.987 e.

oups§
il y a deux 2/
donc  14e soit 43.982 e.

sauf que ces valeurs sont fausses
le noeud n'est pas serré, il n'existe simplement pas.

lire ma preuve le 18-02-24 à 11:11
je la remet en ajoutant tes vaieurs des diamètres (figure faite avec ces valeurs)



sans le tracé effectif des arcs sur AC et BC parler de noeud n'est qu'une illusion.

pour qu'il y ait "noeud' il est nécessaire que les points T, U et V soient à l'intérieur de la zone hachuré, et pour qu'il soit serré, qu'ils soient à la frontière de cette zone

Remarque :
.
Comme Imod demandait de dessiner sa figure j'ai joué sur  les deux deuxième demi disques (7e;5e) qui donnent le  troisième (10e;8e)
on peut diminuer la figure jusqu'à superposer ....

je répète que faire un seul motif ne suffi pas à faire l'entrelacs demandé.
il faut juxtaposer (exactement et pas juste "à l'oeil") les trois
et la définition de tes diamètres est fausse
le rapport entre les rayons et l'épaisseur du ruban n'est pas un nombre entier (et même très certainement pas rationnel !) pour avoir un noeud et qu'il soit serré.

tu peux faire des copies de ton motif et les ajuster les unes par rapport aux autres pour former une figure qui fait illusion de noeud (voir lake 17-02-24 à 18:53)
mais en tout cas ce ne sera certainement pas avec un triangle équilatéral de coté 10e : ce triangle est une illusion, *en vrai les extrémités des plus grands arcs ne se touchent pas !

figures et détails suivent.

Oui , une des principales difficultés quand on veut comprendre et reproduire ces figures est de trier le bon grain de l'ivraie . Plus précisément de choisir les propriétés que l'on souhaite garder car il y a de nombreux faux amis : des points faussement alignés ou cocycliques , des triangles pseudo rectangles ou équilatéraux , ... La seule façon de faire proprement le tri est de réaliser la figure soi même sans hésiter à faire des zooms aux points douteux et il peut y en avoir beaucoup . D'un autre côté c'est aussi un des charmes de l'exercice

Imod    

en partant des arcs bleus de diamètres 2u, 5u, 8u (je fais exprès de ne l'appeler ni e ni d) on peut construire le motif exact qui garantira le noeud serré (les points triples exacts en A, D et D')
ce qui donne l'épaisseur exacte du ruban e
et donc par conséquent les arcs rouges exacts de diamètres augmentés de 2e par rapport aux arcs bleus



fixer à priori e = u est faux
e 0.9 u u

on notera attentivement que les points P et P'₁ sont différents : le "triangle de coté 10e" est une illusion.
et que les centres (I, J, K) ne sont pas sur les autres arcs etc

toute déviation de ces valeurs (à partir de 2u, 5u, 8u fixés) donne des noeuds inexacts, même si on peut "tricher" pour avoir une figure à peu près bonne "à l'oeil", camouflée par l'épaisseur des traits.

J'espère ne pas ajouter à la confusion mais j'aime bien la version restreinte avec des demi-cercles . Sur les dessins de Mathafou , on a ABC , IAD et IAE équilatéraux  donc (DE) // (AB) . Sur la figure initiale , il semblerait que (BD) et (CE) se coupent à l'intersection de 2 arcs et que BC=2.DE .  Il faut bien sûr se méfier des apparences mais , ça pourrait être un critère pour une figure unique .

Imod

on ne parle plus depuis longtemps que de versions avec des demi cercles !
avec comme seule contrainte un "noeud serré" de la figure initiale



le problème est quels demi cercles et où placer leurs images (les deux autres "serpents") pour satisfaire ce critère là. (seul)

ceux de dpi ne marchent pas (ta figure de 17-02-24 à 18:53 et ma preuve détaillée)

et j'ai montré comment en construire une infinité de corrects, dépendant d'un paramètre arbitraire k
ou dépendant du choix arbitraire des "petits arcs"
ou d'une autre donnée, en veillant attentivement à ne pas définir de valeurs redondantes incompatibles (par exemple les petits arcs et l'épaisseur arbitrairement choisis, dpi)

à partir desquels on peut observer les diverses "illusions" de la figure. (points faussement confondus, alignements trompeurs etc) qui nécessiteraient sans doute si on voulait les satisfaire de renoncer aux demi-cercles et compliqueraient énormément.

Je suis parti  de  e  entier pour tracer facilement les diamètres sur un
quadrillage  ....

@Dpi : Savoir si le dessin d'un motif en demi-cercles dont les centres et extrémités sont sur un quadrillage est une vraie question . Ce qui est sûr c'est que l'exemple que tu proposes ne marche pas comme ça été montré à plusieurs reprises .
@Mathafou  : j'avais bien compris qu'on pouvait se restreindre aux demi-cercles sans vider l'exercice de tout intérêt . La question que je posais avec tes notations du message 19-02-24 à 11.53  :  que se passe-t-il si BC=2.DE ou si (BD) et (CE) se coupent à l'intersection de 2 demi-cercles ?

Imod

rien de spécial visible à part ce critère ajouté

avec k 0.2886, BC 2DE (le point jaune est le symétrique de B par rapport à D



avec k 0.2999 (0.3000 exhibe un écart trop visible ) (BD) et (CE) se coupent en T intersection des arcs extérieurs, mais BC 2DE (point jaune T)



avec k 0.2275, T est à l'intersection juste "en dessous".

etc etc
on peut ajuster k pour avoir un peu le critère additionnel que l'on veut.

j'ai mis à disposition mon applet pour cet entrelacs
Geogebra

la construction est légèrement différente, mais le résultat bien entendu identique : je suis parti de IJK, triangle des centres, plutôt que de ABC triangle des points triples.
d'où une valeur différente de k pour une même figure
ceci permet d'avoir une taille de la figure à peu près constante quand on fait varier k, ce qui n'est pas le cas en partant de ABC.
Les étapes de construction sont détaillées (cases à cocher en "boutons radio")
l'étape 5 est la plus fouillis car elle place tous les points d'intersections dans le tiers NE avec tous les demi cercles

Bonjour,
Depuis que Imod a proposé ce genre de figure,je me suis surtout intéressé à leur aspect décoratif en essayant de les redessiner* avec un minimum d'analyse géométrique ,j'apprécie bien sûr les subtilités non évidentes.
*C'est mon coté pictural....
Ceci est une copie de Corot par dpi....

il y a plein de talents cachés sur l'ile !

Les talents ne sont pas tous cachés , certains sautent aux yeux

Les artistes utilisent beaucoup les mathématiques parfois inconsciemment avec les trompent l'œil ou les fausses perspectives . D'un autre côté j'ai toujours trouvé qu'on mettait parfois  du nombre d'or à plein d'endroit où il n'avait rien à faire mais c'est une autre histoire .

En manipulant l'applet de Mathafou , je me suis posé une "dernière" question :



Même si ce n'est pas le cas sur le dessin initial , est-il possible que les figures en bleu admette un axe de symétrie ?

Imod

avec des demi-cercles c'est bien sur impossible car les deux arcs internes ont des courbures différentes...
si on veut ça , il faudra abandonner les demi-cercles pour des constructions bien plus compliquées.

Ok , je renonce à chercher quelque chose de simple dans ce petit dessin . Merci aux participants

Imod

Bonsoir
On pourrait se servir du limaçon trisecteur non ?

certes, ou bien d'autres courbe de la même allure.

une courbe parallèle n'est pas un limaçon à mon avis ..
et puis le tracé d'un limaçon à la règle et au compas ..hum.
il faudrait utiliser un spirographe ^tm ?

la vraie difficulté dans la construction est le choix de l'épaisseur du ruban. et du cadrage pour avoir tous les points triples exacts