1)

(9n - 16) / (n² + 4) = k (k dans N*)
9n-16 = kn² + 4k
kn² - 9n + 16 + 4k = 0

n = [9 +/- V(81-4k(16+4k))]/(2k)

n = [9 +/- V(-16k²-64k+81)]/(2k)

k > 1 --> -16k²-64k+81 < 0 et donc pas de solution.

Donc si il a des solutions, c'est pour k = 1

n = [9 +/- V(-16-64+81)]/2
n = (9 +/- 1)/2

n = 4 ou n = 5 conviennent.

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2)
(n^3 - 5n + 16) / (n² + 4) = n - (9n-16)/(n²+4)

D'après l'exercice 1, si il y a des solutions, c'est n = 4 ou n = 5

n = 4 --> (n^3 - 5n + 16) / (n² + 4) = 3  --> OK
n = 5 --> (n^3 - 5n + 16) / (n² + 4) = 4  --> OK

n = 4 ou n = 5 conviennent.
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Sauf distraction.  

Salut,

Je n'ai pas compris ça :

n = [9 +/- V(81-4k(16+4k))]/(2k)

n = [9 +/- V(-16k²-64k+81)]/(2k)

Qu'est ce que +/- V ? Merci ^^.

V pour racine carrée.
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Cas général d'une équation du second degré ax²+bx+c = 0

x = (-b +/- V(b²-4ac))/(2a)

Et dans le cas de l'ecercice, on a :
x = n ; a = k ; b = -9 et c = (16+4k)

--->

kn² - 9n + (16 + 4k) = 0 est une équation du second degré en n.

Ses solutions sont donc: n = [9 +/- V(81-4k(16+4k))]/(2k)
...
-----
Sauf distraction.  

Merci de ta réponse.

Par contre je n'ai pas compris ça aussi :

k > 1 --> -16k²-64k+81 < 0 et donc pas de solution.

Donc si il a des solutions, c'est pour k = 1

Pourquoi, si il a des solutions, c'est pour k = 1?

Si k > 1, alors  -16k²-64k+81 < 0

Comme n = [9 +/- V(-16k²-64k+81)]/(2k)
"n" ne peut exister que si -16k²-64k+81 >= 0 (à cause de la racine carrée).

Donc il n'y a pas de valeurs de n possibles si k > 1.

Comme k est dans N* mais que k > 1 est interdit, la seule valeur de k qui puisse convenir est k = 1.

...
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Sauf distraction.  

le Voila :

pour que (9n - 16) / (n² + 4)  
il faut qu'il existe k     (9n - 16) / (n² + 4) = k

c'est à dire  9n-16 = kn² + 4k

   Alors  kn² - 9n + 16 + 4k = 0

On a =  b² - 4.a.c = 81-4(k)(16+4k) = 81-16k²-64k

k , c'est a dire k =0 ,1 ,2 ,3 , ........

si k 0 car (9n - 16) dans  

si k = 2,3,4......

< 0 et l'équation n'admet pas des solutions dans

il réste que k = 1 et dans ce cas = 1

et n = (9 - 1)/(2)  ou n = (9 + 1)/(2) ( equation de 2 d )

Donc  n = 4 ou n = 5 ... pour confirmé ça il faut faire le test dans les données  ?!

Merci, une dernière chose, comment tu es passé de ça :

kn² - 9n + 16 + 4k = 0

à ça ?

n = [9 +/- V(81-4k(16+4k))]/(2k)

C'est bon, j'ai trouvé la réponse à ma question. Merci J-P et merci TOUITI !

Pour l'exercice 2) :

(n^3 - 5n + 16) / (n² + 4) = n - (9n-16)/(n²+4)

D'après l'exercice 1, si il y a des solutions, c'est n = 4 ou n = 5

n = 4 --> (n^3 - 5n + 16) / (n² + 4) = 3 --> OK
n = 5 --> (n^3 - 5n + 16) / (n² + 4) = 4 --> OK

n = 4 ou n = 5 conviennent.

Pourquoi est-ce que tu mets la fraction en équation avec l'équation de l'exercice 1? Merci.

(n^3 - 5n + 16) / (n² + 4) = n - (9n-16)/(n²+4)

Pour que (n^3 - 5n + 16) / (n² + 4) soit entier, il faut que (9n-16)/(n²+4) soit entier.

Et (9n-16)/(n²+4) entier a été traité dans l'exercice 1.