je me suis trompé en ecrivant aux passages suivants:
"f est la fonction définie sur par..."
"g est la fonction définie sur -{-1} par..."

Bonsoir,

1)
f(x) = x³-3x²-5x+4
f'(x) = 3x²-6x-5 est un trinôme du second degré, de racines (3-2√6)/3 et (3+2√6)/3
Donc f est croissante sur ]-∞;(3-2√6)/3], décroissante sur ](3-2√6)/3;(3+2√6)/3] et croissante sur [(3+2√6)/3;+∞[
lim f (-∞ ) = -∞
lim f (+∞ ) = +∞

2)
Soit x ≠ 0
f(1-x) = (1-x)³-3(1-x)²-5(1-x)+4 = (1-3x+3x²-x³)-3(1-2x+x²)-5(1-x)+4 = 1-3x+3x²-x³-3+6x-3x²-5+5x+4 = -3+8x-x³
f(1+x) = (1+x)³-3(1+x)²-5(1+x)+4 = (1+3x+3x²+x³)-3(1+2x+x²)-5(1+x)+4 = 1+3x+3x²+x³-3-6x-3x²-5-5x+4 = -3-8x+x³
Donc [f(1-x)+f(1+x)]/2 = -3
Donc I(1;-3) est un centre de symétrie de la courbe C

4)
g(x) = (4-x)/(x+1)
g'(x) = [-(x+1)-(4-x)]/(x+1)² = -5/(x+1)² < 0 sur R-{-1}
Donc g est décroissante sur ]-∞;-1[ et décroissante sur ]-1;+∞[
lim f (-∞ ) = -1
lim f (-1- ) = -∞
lim f (-1+ ) = +∞
lim f (+∞ ) = -1

5)
f(0) = 4 donc C passe par le point A(0;4)
g(0) = 4 donc H passe par le point A(0;4)

Soit x ≠ -1
f(x) = g(x) x³-3x²-5x+4 = (4-x)/(x+1)
[(x³-3x²-5x+4)(x+1)-(4-x)]/(x+1) = 0
(x³-3x²-5x+4)(x+1)-(4-x) = 0
x⁴-3x³-5x²+4x+x³-3x²-5x+4-4+x = 0
x⁴-2x³-8x² = 0
x²(x²-2x-8) = 0
x² = 0 ou x²-2x-8 = 0
x = 0 ou x = -2 ou x = 4

Donc ...