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Une figure simple ?
Bonjour à tous 
La complexité d'un dessin n'apparait pas toujours au premier abord , je vous laisse découvrir celui-ci :
La figure est parfaitement symétrique , le ruban est de largeur constante et sa frontière constituée d'arcs de cercles ne présente pas de points anguleux . Si on laisse apparaître les parties cachées , un huitième de la figure permet de retrouver l'ensemble mais quel est ce huitième ?
Amusez-vous bien et bonne fin d'année à tous
Imod
Bonjour,
et bonne fin d'année à tous aussi
à main levée, j'aurais tendance à dire ce huitième là :
à moins qu'un piège caché ne l'empêche.
à suivre...
J'ai ça
mais c'est obtenu par "ajustement à 0.01 près" sur Geogebra
le triangle BCJ n'est pas équilatéral.
Compléments :
on se reportera aux manuels scouts ou de matelotage pour voir que cet entrelacs est la représentation mathématique d'un noeud de carrick à un seul brin...
(source manuel scout "noeuds et cordages" de D Guillaumont où j'ai ajouté en rouge la "fermeture" du noeud)
le passage d'un noeud "du monde réel" à un noeud mathématique s'obtient en raccordant les brins libres ("à l'infini")
exemple (source "Pour La Science" N° 9 Juillet 1978) avec le noeud "ordinaire" simple :
ce noeud est "mathématiquement" appelé noeud de trèfle car il sont topologiquement équivalent.
pour sa part le noeud de carrick est classé dans PLS comme l'un des noeuds "premiers" (non décomposable) à 8 intersections.
erratum :
il est clair que le raccordement proposé des 4 brins du noeud de carrick est incorrect puisque cela donne un noeud à 9 croisements au lieu de 8
correct est en partant du noeud de carrick normal (avec deux cordages)
(source ibidem et ajouts en rouge du raccordement des 4 bouts)
Bonjour à Dpi et Rebonjour à Mathafou
Il est clair que la difficulté est de réaliser une figure exacte en repérant les points stratégiques et en évitant les faux amis ce qui n'est pas évident du tout comme la noté Mathafou . Sa réalisation est correcte et pas complètement intuitive .
La théorie des nœuds est une jolie théorie particulièrement complexe , je préfère rester sur des petits dessins plus à ma portée .
J'ai retrouvé deux figures de qualité médiocre mais assez proches de l'idée initiale au cas où quelqu'un serait tenté
Imod
le dernier est tout de même à priori plus facile avec ses parties rectilignes. raccordant des arcs de cercles
alors que l'autre est formée de uniquement des arcs de cercles.
de plus il n'est pas assez "serré" (des petits trous aux croisements) et pourrait certainement être amélioré.
en tout cas ce sont respectivement un décagone étoilé décomposé en deux pentagones, et un hexagone étoilé décomposé en deux triangles équilatéraux.
maintenant il faut remplacer cette esquisse en arrondissant les angles et en épaississant les traits, avec des arcs de cercles de rayons judicieux ...
comme dit, le second (sur un décagone) se résout sans trop de difficulté
il possède d'ailleurs à priori une infinité de solutions
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pour celui à symétrie hexagonale cela ne s'avère pas si compliqué que ça
déjà on va "améliorer" la figure initiale avec des rubans un peu plus large conduisant à supprimer le "trou" aux "points triples" de la figure 
là aussi il y a une infinité de variantes que l'on peut piloter à partir de l'hexagone de base ABCDEF par une position arbitraire de ce point triple S sur la médiatrice de AB :
et un cas particulier "simple" avec comme point de départ les "grands arcs" passant par les sommets ;
(post traitement de l'image Géogébra par Paint)
je ne blanque pas vu que je ne montre pas les détails de cette construction ...
je n'ai pas précisé où se trouvent exactement les sommets de l'hexagone sur la dernière figure
en fait il y a plusieurs façons de faire passer les "grands" arcs par les sommets :
soit (la figure précédente) c'est aux points d'intersections
soit c'est sur un arc caché :
soit c'est sur la partie intérieur d'un grand arc :
cette dernière figure est un cas limite bouchant tous les "trous" par apparition d'un point triple en T
au delà ça ne marche plus.
dans tous les cas la condition des arcs passant par le sommet donne une construction (simple) du point S sur lequel est basé toute la suite de la construction Géogébra
de sorte qu'il n'y a rien à "refaire" pour avoir tous ces cas là
(un bouton déclenchant le script "SoitValeur(S, S_n)" se place dans le cas voulu, sinon S est libre)
@Mathafou
Je ne réponds pas systématiquement car je n'ai pas grand chose à ajouter à tes développements mais j'aime particulièrement les nœuds "serrés" . Les personnes qui réalisent ces dessins cherchent plus l'esthétique que les mathématiques même si les deux sont souvent très proches .
Je suis bien moins rapide que toi mais j'ai essayé de reproduire la construction exacte que tu as proposée pour le premier dessin . Je me retrouve avec des points doubles certes très proches mais distincts , ce qui compromet le huitième de figure . On peut bien sûr noyer le poisson avec des traits épais mais entre matheux on aime bien que les choses soient dites . D'un autre côté je n'ai sans doute pas compris toutes les subtilités de ta construction
Imod
"le premier" c'est à dire celui initial dans cette discussion (le noeud de carrick) ?
il y a effectivement des points très proches et distincts sur les auto-intersections de l'entrelacs :
des points d'intersection très proches des points de raccordement d'arcs
je ne suis pas chez moi, et donc n'ai pas sous la main mon fichier géogébra pour tout vérifier
je donnerai l'année prochaine (!) les détails de ma construction
en attendant, mes meilleurs voeux à tous
PS :
l'erreur est sans doute que 1/8 de la figure est faux ( 28-12-23 à 19:44) : c'est 1/4 qui est nécessaire (et suffisant) car le 1/8 entre 0 et pi/4 est différent de celui entre pi/4 et pi/2
Je renouvelle mes voeux et comme promis la construction détaillée de la 1ère figure (non blanquée dorénavant)
on part du carré ABCD, de centre O, et des triangles équilatéraux de sommets E,F,G,H, construits sur les côtés du carré.
1) tracer un arc de cercle de centre F passant par A et D, il coupe CF en T, point de contact avec un arc de cercle de centre C
2) de même tracer l'arc de centre E passant par C et D
M le milieu de l'arc CD
Tracer l'arc de cercle de centre F passant par M, coupant CF en U, point de contact avec un arc de cercle de centre C
on a ainsi tracé le morceau de la figure formé de ces 4 arcs de cercles de centre F et C et de leur raccordements lisses. en T et U
On les reproduit par symétries pour former [une partie de] l'entrelacs "transparent"
puis, en se limitant au premier quadrant, le motif de l'entrelacs "opaque" avec ses points d'intersection
on portera particulièrement attention à la différence entre les points T' et K (voir détail)
T' est le point de contact entre les cercles rouge de centre H et bleu de centre D
K est l'intersection du cercle rouge de centre H et du cercle noir de centre C
finalement on reproduit le 1er quadrant par symétries / rotations de 90°
on peut créer des variantes avec une épaisseur du ruban variable mais la construction est complètement différente : les centres n'ont plus aucune raison d'être sur les sommets, ni les arcs de passer par les sommets
Là aussi on portera attention à des "petits bouts d'arcs" pour lesquels les points de raccordement tangents n'ont aucun rapport avec les points d'intersections
PS : on remarquera aussi le raccordement en U' de deux arcs différents :
l'arc de cercle KU' de centre C et l'arc de cercle U'N de centre G
(N est l'image par rotation de M, point triple exact)
Bonjour Mathafou et merci pour toutes ces réponses que je n'ai malheureusement pas loisir de détailler en ce moment . Je te présente tout de même ( c'est la moindre des choses ) mes meilleurs vœux ainsi qu'à tous les membres du forum .
Tout de même , comme tu parles de variation de l'épaisseur de la bande , deux petites questions me sont venues à l'esprit :
1°) Peut-on resserrer les rubans centraux en O .
2°) Peut-on choisir l'épaisseur du ruban pour que la figure complète ( les parties cachées rendues visibles ) soit constituée de 8 parties "identiques" ?
Je suis tenté de répondre oui à la première question et non à la deuxième mais mon intuition est loin d'être infaillible .
A bientôt pour une réponse plus construite
Imod
Y a qu'à demander ..
pour resserrer les rubans en O une condition nécessaire (et suffisante) est que les arcs de grand cercles deviennent des droites (que leur centre soit à l'infini)
un autre "resserrement" intéressant est lorsque un deuxième "point triple" est créé en S :
pour que un seul octant suffise à définir la figure, il faudrait une symétrie d'ordre 8 et donc 8 "ganses" à l'extérieur et non 4
un seul octant suffit si on considère un ruban "transparent, c'est à dire en ignorant qui passe dessus / dessous.
... c'est ce qui est fait dans la construction en fait, avant "d'effacer" les arcs en trop car étant cachés, ce ne sont pas les mêmes dans les différents octants.
pour jouer avec cette généralisation, mon applet Geogebra : 
(capture statique)
construction de l'entrelacs "transparent", les intersections et cacher les arcs "dessous" ne sont pas calculés car cette construction serait trop complexe à généraliser : les intersections ne sont pas toujours entre les mêmes arcs.
dans l'applet les points X (centre des grands cercles) et M (point triple par définition) sont variables
nota : dans l'applet le zoom ne marche pas, le point A variable définit la taille de la figure
les "scripts" que j'utilise pour cette construction sont vraiment basique
du genre une ligne ou deux pas plus !
pour ceux que ça intéresse
la 1ère difficulté est que fondamentalement la construction est différente selon que M est au dessus ou au dessous du point N d'intersection entre (XC) et la médiatrice de AB
cela se fait par la définition (en ligne de commande) du point U :
U = Si(y(M) ≥ y(N), U_1, U_2)
U_1 est l'intersection de (XC) avec le cercle de centre C passant par M
U_2 est l'intersection de (XC) avec le cercle de centre X passant par M
ces cercles et intersections U_1 et U_2auraient très bien pu être "virtuels" en écrivant la ligne bien compliquée
U = Si(y(M) ≥ y(N), Intersection(...), Intersection(...))
mais une telle ligne devient vite illisible et difficile à écrire.
la suite ne nécessite aucune astuce ni script.
peut on appeler cela un script ?? bof ...
ensuite, indépendamment de la construction elle même, chaque bouton déclenche un "script" de une ligne dans la définition même du bouton
SoitValeur(M, Mn) pour placer le point M (variable) à l'endroit actuel du point Mn (caché)
et / ou SoitValeur(X, F) pour placer X en F
c'est tout.
il n'y a par ailleurs que des constructions pures, la plupart étant faites "à la souris" avec les outils de la barre d'outils (rien à taper sauf les angles de rotation = 90° une fois pour toutes)
rose, bleu, jaune, vert, noir = 5 couleurs 
(et même 6 avec le fond blanc)
une coloration possible avec 4 couleurs seulement en tout (théorème !)
de toute façon un tel coloriage est un peu arbitraire vu que la figure représente un seul ruban noué
Les quatre couleurs faisaient apparaître des portions identiques , j'aurais dû laisser le noir en blanc 
Imod
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