bonjour

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1 + 1/k² + 1/(k+1)² = 1 + ((k+1)² + k²)/(k²+k)²

(k+1)² + k² + (k²+k)² = k²+2k+1 + k² + k⁴+2k³+k² = k⁴ + 2k³ + 3k² + 2k + 1 = (k+1)⁴ -k (2k² + 3k + 2) = (k+1)⁴ -k (2(k+1)² - k) = (k+1)⁴ - 2k(k+1)² + k² = ((k+1)² - k)²

donc (1 + 1/k² + 1/(k+1)²) = (((k+1)² - k)²/(k²-k)² = ((k+1)² - k)/(k²-k)

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pour la somme je laisse faire (désolé je ne sais pas utiliser le latex mais je vais essayer de mettre ce que j'ai trouvé quand même :

si je me rappelle bien : _k=1ⁿf(k) = f(n+1)-f(1), donc :

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la somme cherchée vaut ((n+2)²-n-1)/((n+1)²-n-1) = (n²+3n+3)/(n²+n)

MstrHepTig, il y a de l'idée mais avec ton résultat, la somme tendrait vers 1 quand n tend vers l'infini, or on voit bien que si on ajoute indéfiniment des nombres plus grand que 1, la somme ne peut tendre que vers l'infini, donc tu dois avoir une erreur quelque part.

Bonjour,

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On a
Donc
Merci pour cette énigme bien sympa

je vais continuer à travailler dessus

bonjour,
je me suis peut être bien trompée ,
je trouve

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l

Oui, super Sugaku , c'est exactement ça, déterrer du télescopique.

il semblerait que ce soit correct,mes calculs sont un peu  plus simples  mais je n'arrive pas à taper correctement

Oui c'est le bon résultat veleda .

Bonjour,

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donc (somme téléscopique célèbre)

Bonjour,

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Je vote pour (n+1) - 1/(n+1) égal aussi à n(n+2) / (n+1) .

J'ai commencé par transformer en (k² + k +1) / (k(k+1)) puis 1 + 1/k - 1/(k+1) .

Et merci pour l'énigme !
Une petite question pour prolonger :

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Je trouve l'égalité assez étonnante de simplicité.

Y en a-t-il d'autres dans le genre ?

Oui, en complétant avec des signes positifs pour a , b et c ou pour a+b-c

Plus symétrique et rigolo :

si et seulement si et

ha oui c'est élégant !
cela dit il faudrait trouver du télescopique quelque part si on veut pouvoir se servir de cette formule pour calculer des séries.

salut,
vous vous doutez  certainement de ma méthode

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supposons(k>0)
E:=1+1/k^2+1/(k+1)^2
E:=factor(sqrt(E))
somme(E,k,1,n)

salut

ayant vu les premières réponses (et ayant eu la même idée) je me suis gardé d'intervenir ... mais j'ai suivi ...


sympa ces égalités ... mais une remarque ...

excepté pour le calcul d'une somme où la racine peut éventuellement gêner, celle-ci n'est qu'un leurre ou trompe l'œil qui n'introduit qu'éventuellement une condition de positivité d'une certaine quantité ....

car les questions peuvent se résumer en ::

trouver a, b et c tels que ou encore qui conduisent immédiatement à la condition nécessaire que vous avez trouvée

prendre la racine carrée introduit alors une condition de positivité .... pour ne pas s'emm... avec des valeurs absolues ...

d'ailleurs je suis quasi persuadé que la première chose que vous avez faite ... c'est d'élever au carré ... pour prendre de la hauteur