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Une propriété de l hyperbole

Posté par ninine (invité) 18-02-04 à 17:11

Merci de m'aider à résoudre ce problème.

Soit Cf la courbe représentative de la fonction inverse dans un repère
orthonormé.
Soit A,B,C trois points de cette courbeCf.
Montrer que l'orthocentre du triangle ABC est sur Cf.

J'ai commencé à faire quelque chose mais je n'arrive pas à continuer.

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on considère trois points
distincts A,B,C de l'Hyperbole Cf d'équation y= 1/x
On note a, b, c les abscisses respectives de A,B,C

Soit Da et Db les hauteurs issues de A et de B dans le triangle ABC.
Montrer que le vecteur Na de coordonnées(b*c; -1) est normal à la droite
Da, puis déterminer une équation de Da.
Faire pareil pour la hauteur Db.

Je n'arrive pas à démontrer le vecteur normal.

Merci de bien vouloir m'aider.

Posté par
watik
re : Une propriété de l hyperbole 18-02-04 à 20:04

bpnsoir
permettez moi de vous aider.

OA=ai+(1/a)j
OB=bi+(1/b)j
OC=ci+(1/c)j

donc
AB=OB-OA=(b-a)i+(1/b-1/a)j=(b-a)i+((a-b)/ab)j
    = (b-a)(i-1/abj)

de même
AC=(c-a)(i-1/acj)
BC=(c-b)(i-1/bcj)

la droite (AB) a pour équation:
(x-a)(-1/ab)-(y-1/a)(1)=0
ssi -x/ab+1/b-y+1/a=0
ssi x+aby-(a+b)=0  c'est l'équation de la droite (AB)

de même l'équation de la droite (AC) est x+acy-(a+c)=0
et l'équation de la droite (BC) est x+bcy-(b+c)=0

le vecteur normal à la droit (AB) d'équation x+aby-(a+b)=0
est (1,ab)=i+abj

le vecteur normal à la droit (AC) d'équation  x+acy-(a+c)=0
est (1,ac)=i+acj

le vecteur normal à la droit (BC) d'équation  x+bcy-(b+c)=0 est
(1,bc)=i+bcj

la hauteur CH à AB issue de C est parallèle à (1,ab)=i+abj et passe
par C(c,1/c)

son équation est :

(x-c)(ab)-(y-1/c)(1)=0
ssi abx-abc-y+1/c=0
ssi abcx-cy-abc²+1=0

la hauteur BH à AC issue de B est parallèle à (1,ac)=i+acj et passe
par B(b,1/b)

son équation est :

(x-b)(ac)-(y-1/b)(1)=0
ssi acx-abc-y+1/b=0
ssi abcx-by-ab²c+1=0

donc les coordonnées (xo,yo) de l'orthocentre H sont données par
le système:

abcxo-cyo-abc²+1=0
et
abcxo-byo-ab²c+1=0

ssi

abcxo-cyo=abc²-1
et
abcxo-byo=ab²c-1

D=(abc)(-b)-(abc)(-c)=abc(c-b)  il faut donc que c soit différent de b et a et b et c non nuls.

xo=((abc²-1)(-b)-(ab²c-1)(-c))/abc(c-b)
  =(-ab²c²+b+ab²c²-c)/abc(c-b)
  =(b-c)/abc(c-b)
  =-1/abc.


yo=((ab²c-1)(abc)-(abc²-1)(abc))/abc(c-b)
= abc(ab²c-1-abc²+1)/abc(c-b)
=(abc)²(b-c)/abc(c-b)
=- abc

donc yo=1/xo

donc H appartient à l'hyperbole Cf

voila
bon courage



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