bpnsoir
permettez moi de vous aider.

OA=ai+(1/a)j
OB=bi+(1/b)j
OC=ci+(1/c)j

donc
AB=OB-OA=(b-a)i+(1/b-1/a)j=(b-a)i+((a-b)/ab)j
    = (b-a)(i-1/abj)

de même
AC=(c-a)(i-1/acj)
BC=(c-b)(i-1/bcj)

la droite (AB) a pour équation:
(x-a)(-1/ab)-(y-1/a)(1)=0
ssi -x/ab+1/b-y+1/a=0
ssi x+aby-(a+b)=0  c'est l'équation de la droite (AB)

de même l'équation de la droite (AC) est x+acy-(a+c)=0
et l'équation de la droite (BC) est x+bcy-(b+c)=0

le vecteur normal à la droit (AB) d'équation x+aby-(a+b)=0
est (1,ab)=i+abj

le vecteur normal à la droit (AC) d'équation  x+acy-(a+c)=0
est (1,ac)=i+acj

le vecteur normal à la droit (BC) d'équation  x+bcy-(b+c)=0 est
(1,bc)=i+bcj

la hauteur CH à AB issue de C est parallèle à (1,ab)=i+abj et passe
par C(c,1/c)

son équation est :

(x-c)(ab)-(y-1/c)(1)=0
ssi abx-abc-y+1/c=0
ssi abcx-cy-abc²+1=0

la hauteur BH à AC issue de B est parallèle à (1,ac)=i+acj et passe
par B(b,1/b)

son équation est :

(x-b)(ac)-(y-1/b)(1)=0
ssi acx-abc-y+1/b=0
ssi abcx-by-ab²c+1=0

donc les coordonnées (xo,yo) de l'orthocentre H sont données par
le système:

abcxo-cyo-abc²+1=0
et
abcxo-byo-ab²c+1=0

ssi

abcxo-cyo=abc²-1
et
abcxo-byo=ab²c-1

D=(abc)(-b)-(abc)(-c)=abc(c-b)  il faut donc que c soit différent de b et a et b et c non nuls.

xo=((abc²-1)(-b)-(ab²c-1)(-c))/abc(c-b)
  =(-ab²c²+b+ab²c²-c)/abc(c-b)
  =(b-c)/abc(c-b)
  =-1/abc.


yo=((ab²c-1)(abc)-(abc²-1)(abc))/abc(c-b)
= abc(ab²c-1-abc²+1)/abc(c-b)
=(abc)²(b-c)/abc(c-b)
=- abc

donc yo=1/xo

donc H appartient à l'hyperbole Cf

voila
bon courage