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une suite qui converge vers le nombre e
Bonsoir, bonsoir !
Vala, g cette activitée à faire :
1/a) f est la fonction définie sur R par f(x)= e(x)- (1+x). Etudier ses variations.
b)En déduire que pour tout réel x, 1+x
e(x).
c)A partir de l'inégalité du peit b, démontrer que pour tout réel xinférieur à 1, e(x)1/(1-x).
2/a)n désigne un entier naturel non nul, déduire de l'inégalité du petit b que (1+1/n)puissance ne.
b)Déduire de l'inégalité du petit c que e(1+1/n)puissance n+1
3/u est la suite définie pour tout entier n
1 par un=(1+1/n)puissance n
a)démontrer que pour tout entier n1, 0e-un3/n
b) en déduire que un converge vers e
Donc j'ai cherché et les seules questions auxquelles g réussie à répondre sont la 1/a) et b) et la 2/a.
Pour ce qui est du reste, rien à faire, je trouve pas...
Un peu d'aide ?!? 
salut
1c) 1+x =< e(x) , x dans R.
donc on a aussi 1-x =< e(-x) , x dans R.
ici x < 1 donc 1-x > 0
or la fonction x-> 1/x est decroissante sur R+* donc
1/(1-x) >= 1/(e^-x)=e^x
2a)on prend x=1/(n+1)
x < 1 donc on peut utiliser 1c)
on a e(1/(n+1)) =< 1/(1-1/(n+1)) = 1/[n/(n+1)] = (n+1)/n = 1 + 1/n
la fonction x->x^(n+1) est croissante sur R+ donc
e = e^1 =< (1+1/n)^(n+1)
3a) deux inegalites a demontrer.
la premiere se fait facilement par 2a.
la deuxieme : e-u(n) =< 3/n ?
on a e-u(n) =< (1+1/n)^(n+1) - (1+1/n)^n = (1+1/n)^n*(1+1/n-1) = (1+1/n)^n * 1/n
or (1+1/n)^n =< e =< 3
donc e-u(n) =< 3/n
b) theoreme des gendarmes...
a verifier tout ca !!!
a+
bah en refaisant le tout à ma façon, je retrouve les mêmes résultats
En revanche je vois pas trop comment appliquer le théorème des gendarmes pour la dernière question. En général il ne faut pas avoir un truc du genre : vnunwn avec vn et wn qui ont la même limite ,!?
C'est une plaisanterie, j'espère ?
Le membre de droite tend vers 0
Donc tend vers 0 et
tend vers
.
Si tu veux à tout prix décomposer :
Les membres de gauche et de droite tendent tous les deux vers .
Nicolas
Bonjour,
J'ai posté le même exo, alors que le même avait déjà été traité auparavant..
Mais j'ai un petit soucis sur or
(1+1/n)^n =< e =< 3
donc e-u(n) =< 3/n
comment fait -on pour passer de la première à la deuxième ligne sachant que
e-u(n) =< (1+1/n)^(n+1) - (1+1/n)^n = (1+1/n)^n*(1+1/n-1) = (1+1/n)^n * 1/n
C'est trop rapide pr moi . Merci de m'expliquer un peu plus.
:)
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